$n$ は自然数とする。$\sqrt{\frac{3024}{n}}$ が自然数となるような $n$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

$n$ は自然数とする。$\sqrt{\frac{3024}{n}}$ が自然数となるような $n$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

まず、3024を素因数分解します。

$3024 = 2^5 \cdot 3^3 \cdot 7$

$\sqrt{\frac{3024}{n}}$ が自然数となるためには、$\frac{3024}{n}$ がある自然数の2乗になる必要があります。つまり、$\frac{3024}{n}$ は平方数でなければなりません。

$\frac{3024}{n} = \frac{2^5 \cdot 3^3 \cdot 7}{n}$

$\frac{3024}{n}$ が平方数になるためには、$n$ は $2^{奇数} \cdot 3^{奇数} \cdot 7^{奇数}$ の形を打ち消す必要があります。

$n = 2^a \cdot 3^b \cdot 7^c$ とすると、

$\frac{3024}{n} = \frac{2^5 \cdot 3^3 \cdot 7^1}{2^a \cdot 3^b \cdot 7^c} = 2^{5-a} \cdot 3^{3-b} \cdot 7^{1-c}$

$5-a$, $3-b$, $1-c$ が全て偶数でなければならないので、

$5-a \ge 0$, $3-b \ge 0$, $1-c \ge 0$ である必要もあります。

つまり、

$a \in \{1, 3, 5\}$

$b \in \{1, 3\}$

$c \in \{1\}$

したがって、$n$ は以下のいずれかの形になります。

$n = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 7^1 = 42$

$n = 2^1 \cdot 3^3 \cdot 7^1 = 378$

$n = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 7^1 = 168$

$n = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 7^1 = 1512$

$n = 2^5 \cdot 3^1 \cdot 7^1 = 672$

$n = 2^5 \cdot 3^3 \cdot 7^1 = 6048$

$\frac{3024}{n}$ が平方数となるためには、

$n$ が 3024 の約数である必要があります。

よって、$n$ は以下のようになります。

$n = 2^a \cdot 3^b \cdot 7^c$ の形で表現でき、$a \leq 5, b \leq 3, c \leq 1$ でなければなりません。

$\frac{3024}{n} = 2^{5-a} \cdot 3^{3-b} \cdot 7^{1-c}$

$5-a$, $3-b$, $1-c$ は偶数でなければなりません。

したがって、$a \in \{1,3,5\}$, $b \in \{1,3\}$, $c \in \{1\}$。

$n=2^a 3^b 7^c$ であるので、

$n \in \{2\cdot3\cdot7, 2\cdot3^3\cdot7, 2^3\cdot3\cdot7, 2^3\cdot3^3\cdot7, 2^5\cdot3\cdot7, 2^5\cdot3^3\cdot7\}$

$n \in \{42, 378, 168, 1512, 672, 6048\}$

3. 最終的な答え

$n = 42, 168, 378, 672, 1512, 6048$