ルジャンドル記号 $\left( \frac{29}{131} \right)$ の値を、与えられた手順に従って計算し、空欄①から⑤に当てはまる数を求める問題です。

1. 問題の内容

ルジャンドル記号 $\left( \frac{29}{131} \right)$ の値を、与えられた手順に従って計算し、空欄①から⑤に当てはまる数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 平方剰余の相互法則を適用するために、まず $\left( \frac{29}{131} \right)$ を変形します。

$131 \equiv 3 \pmod{4}$ および $29 \equiv 1 \pmod{4}$ なので、$(-1)^{\frac{29-1}{2} \cdot \frac{131-1}{2}} = (-1)^{14 \cdot 65} = (-1)^{910} = 1$ です。

したがって、$(-1)^4$ は $28 \cdot 130$ ではなく、$\frac{28 \cdot 130}{4} = 7 \cdot 130 = 910$ となりますが、偶数なので符号はプラスになります。

また、$131 \equiv 15 \pmod{29}$ なので、

$\left( \frac{29}{131} \right) = (-1)^4 \left( \frac{131}{29} \right) = \left( \frac{131}{29} \right) = \left( \frac{15}{29} \right)$

ゆえに、①は 15、②は 15です。

(2) $\left( \frac{15}{29} \right)$ を計算します。$15 = 3 \cdot 5$ なので、ルジャンドル記号の性質から、

$\left( \frac{15}{29} \right) = \left( \frac{3}{29} \right) \left( \frac{5}{29} \right)$

ゆえに、③は 3、④は 5 です。

(3) $\left( \frac{3}{29} \right)$ と $\left( \frac{5}{29} \right)$ をそれぞれ計算します。平方剰余の相互法則から、

$\left( \frac{3}{29} \right) = (-1)^{\frac{3-1}{2} \cdot \frac{29-1}{2}} \left( \frac{29}{3} \right) = (-1)^{1 \cdot 14} \left( \frac{29}{3} \right) = \left( \frac{29}{3} \right) = \left( \frac{2}{3} \right) = -1$

$\left( \frac{5}{29} \right) = (-1)^{\frac{5-1}{2} \cdot \frac{29-1}{2}} \left( \frac{29}{5} \right) = (-1)^{2 \cdot 14} \left( \frac{29}{5} \right) = \left( \frac{29}{5} \right) = \left( \frac{4}{5} \right) = 1$

したがって、

$\left( \frac{15}{29} \right) = \left( \frac{3}{29} \right) \left( \frac{5}{29} \right) = (-1) \cdot (1) = -1$

ゆえに、$\left( \frac{29}{131} \right) = -1$　なので、⑤は -1 です。

3. 最終的な答え

①: 15

②: 15

③: 3

④: 5

⑤: -1