7進法で表すと $abc_{(7)}$ となり、5進法で表すと $bca_{(5)}$ となる数を10進法で表す。

1. 問題の内容

7進法で表すと $abc_{(7)}$ となり、5進法で表すと $bca_{(5)}$ となる数を10進法で表す。

2. 解き方の手順

まず、$abc_{(7)}$ と $bca_{(5)}$ をそれぞれ10進法で表す。

$abc_{(7)} = a \times 7^2 + b \times 7^1 + c \times 7^0 = 49a + 7b + c$

$bca_{(5)} = b \times 5^2 + c \times 5^1 + a \times 5^0 = 25b + 5c + a$

問題文より、$49a + 7b + c = 25b + 5c + a$ である。

これを整理すると、

$48a = 18b + 4c$

$24a = 9b + 2c$

$a$, $b$, $c$ はそれぞれ7進法と5進法で使われる数字であるから、$0 \le a \le 6$, $0 \le b \le 4$, $0 \le c \le 4$ を満たす整数である。ただし、$a$と$b$は先頭の数字なので、$a \ne 0$, $b \ne 0$である。

$2c = 24a - 9b$ であるから、右辺は偶数でなければならない。$9b$ が偶数になるのは、$b$が偶数のときのみである。したがって、$b = 2$ または $b = 4$ である。

(1) $b = 2$ のとき

$2c = 24a - 9 \times 2 = 24a - 18$

$c = 12a - 9$

$0 \le c \le 4$ であるから、$0 \le 12a - 9 \le 4$

$9 \le 12a \le 13$

$\frac{9}{12} \le a \le \frac{13}{12}$

$0.75 \le a \le 1.083...$

$a$ は整数なので、$a = 1$

このとき、$c = 12(1) - 9 = 3$

したがって、$(a, b, c) = (1, 2, 3)$

(2) $b = 4$ のとき

$2c = 24a - 9 \times 4 = 24a - 36$

$c = 12a - 18$

$0 \le c \le 4$ であるから、$0 \le 12a - 18 \le 4$

$18 \le 12a \le 22$

$\frac{18}{12} \le a \le \frac{22}{12}$

$1.5 \le a \le 1.833...$

$a$ は整数なので、$a$ は存在しない。

したがって、$a = 1, b = 2, c = 3$ である。

求める数は $49a + 7b + c = 49(1) + 7(2) + 3 = 49 + 14 + 3 = 66$

3. 最終的な答え

66