実数 $a$ が与えられたとき、「任意の自然数 $n$ に対し、常に $\frac{m}{n} \le a$ を満たす自然数 $m$ が存在する」という命題が、$a \ge 1$ であるための何条件であるかを答える問題です。

1. 問題の内容

実数 $a$ が与えられたとき、「任意の自然数 $n$ に対し、常に $\frac{m}{n} \le a$ を満たす自然数 $m$ が存在する」という命題が、$a \ge 1$ であるための何条件であるかを答える問題です。

2. 解き方の手順

与えられた命題を $P(a)$ とし、$a \ge 1$ を $Q(a)$ とします。つまり、$P(a)$: 「任意の自然数 $n$ に対し、常に $\frac{m}{n} \le a$ を満たす自然数 $m$ が存在する」, $Q(a)$: $a \ge 1$ です。

まず、$P(a) \Rightarrow Q(a)$ が成り立つかどうかを調べます。

$P(a)$ が成り立つと仮定します。特に、$n=1$ のときを考えると、$\frac{m}{1} \le a$ を満たす自然数 $m$ が存在します。つまり、$m \le a$ を満たす自然数 $m$ が存在します。

$P(a)$ が真であると仮定すると、任意の自然数 $n$ に対して、$\frac{m}{n} \le a$ を満たす自然数 $m$ が存在します。

例えば、$n > a$ となるような自然数 $n$ をとると、$\frac{m}{n} \le a$ となる自然数 $m$ が存在します。

言い換えると、$m \le na$ を満たす自然数 $m$ が存在することになります。

次に、$Q(a) \Rightarrow P(a)$ が成り立つかどうかを調べます。

$a \ge 1$ を仮定します。つまり、$Q(a)$ が成り立つと仮定します。

任意の自然数 $n$ に対して、$m = \lfloor an \rfloor$ とします。ここで、$\lfloor x \rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数を表す記号です。

すると、$m \le an$ なので、$\frac{m}{n} \le a$ が成り立ちます。

ただし、$m$ が自然数である必要があります。$a \ge 1$ であれば、常に $m$ は自然数となります。実際、$n$ が自然数であれば、$an \ge n \ge 1$ であるため、$m = \lfloor an \rfloor$ は必ず自然数となります。

したがって、$Q(a) \Rightarrow P(a)$ が成り立ちます。

以上の議論から、$P(a) \Leftrightarrow Q(a)$ が成り立つので、$P(a)$ は $a \ge 1$ であるための必要十分条件となります。

3. 最終的な答え

必要十分条件