9進数で $abc_{(9)}$ と表される数が、7進数で $bca_{(7)}$ と表される。この条件を満たす $(a, b, c)$ の組をすべて求め、それぞれの数を10進数で表す。

1. 問題の内容

9進数で $abc_{(9)}$ と表される数が、7進数で $bca_{(7)}$ と表される。この条件を満たす $(a, b, c)$ の組をすべて求め、それぞれの数を10進数で表す。

2. 解き方の手順

まず、9進数 $abc_{(9)}$ と7進数 $bca_{(7)}$ をそれぞれ10進数で表します。

$abc_{(9)} = a \cdot 9^2 + b \cdot 9^1 + c \cdot 9^0 = 81a + 9b + c$

$bca_{(7)} = b \cdot 7^2 + c \cdot 7^1 + a \cdot 7^0 = 49b + 7c + a$

問題文より、これらの10進数の値は等しいので、以下の等式が成り立ちます。

$81a + 9b + c = 49b + 7c + a$

この式を整理すると、

$80a = 40b + 6c$

両辺を2で割ると、

$40a = 20b + 3c$

ここで、$a, b, c$ はそれぞれ9進数、7進数の数字であるため、$0 \le a \le 8$, $0 \le b \le 6$, $0 \le c \le 6$ を満たす整数です。

また、$a \ne 0$, $b \ne 0$である必要があります。なぜなら、$abc_{(9)}$は9進数表記であり、$bca_{(7)}$は7進数表記であるため、$a$と$b$が0であってはいけません。

$40a = 20b + 3c$ を満たす $a, b, c$ の組み合わせを探します。

$a = 1$ のとき、$40 = 20b + 3c$ となります。

$b = 1$ のとき、$40 = 20 + 3c$ より $3c = 20$ となり、これを満たす整数 $c$ は存在しません。

$b = 2$ のとき、$40 = 40 + 3c$ より $3c = 0$ となり、$c = 0$ が得られます。

このとき、$(a, b, c) = (1, 2, 0)$ となり、$abc_{(9)} = 120_{(9)} = 1 \cdot 9^2 + 2 \cdot 9 + 0 = 81 + 18 = 99$

$a = 2$ のとき、$80 = 20b + 3c$ となります。

$b = 1$ のとき、$80 = 20 + 3c$ より $3c = 60$ となり、$c = 20$ となり、$c \le 6$ に矛盾します。

$b = 2$ のとき、$80 = 40 + 3c$ より $3c = 40$ となり、これを満たす整数 $c$ は存在しません。

$b = 3$ のとき、$80 = 60 + 3c$ より $3c = 20$ となり、これを満たす整数 $c$ は存在しません。

$b = 4$ のとき、$80 = 80 + 3c$ より $3c = 0$ となり、$c = 0$ が得られます。

このとき、$(a, b, c) = (2, 4, 0)$ となり、$abc_{(9)} = 240_{(9)} = 2 \cdot 9^2 + 4 \cdot 9 + 0 = 162 + 36 = 198$

3. 最終的な答え

$(a, b, c) = (1, 2, 0)$ のとき、10進数で $99$

$(a, b, c) = (2, 4, 0)$ のとき、10進数で $198$