問題59は整数の割り算の余りを求める問題です。 問題60はユークリッドの互除法を用いて2つの整数の最大公約数を求める問題です。 問題61は1次不定方程式を満たす自然数の組を求める問題です。

1. 問題の内容

問題59は整数の割り算の余りを求める問題です。

問題60はユークリッドの互除法を用いて2つの整数の最大公約数を求める問題です。

問題61は1次不定方程式を満たす自然数の組を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題59

(1) -75を14で割ると、商は-6で余りは9となります。なぜなら、$-75 = 14 \times (-6) + 9$ だからです。

(2) $a$を7で割ると5余り、$b$を7で割ると4余るので、$a = 7m + 5$、$b = 7n + 4$（$m, n$は整数）と表せます。したがって、$ab = (7m + 5)(7n + 4) = 49mn + 28m + 35n + 20 = 7(7mn + 4m + 5n + 2) + 6$ となります。よって、$ab$を7で割った余りは6です。

問題60

ユークリッドの互除法を用いて629と259の最大公約数を求めます。

$629 = 259 \times 2 + 111$

$259 = 111 \times 2 + 37$

$111 = 37 \times 3 + 0$

よって、最大公約数は37です。

問題61

$3x - 7y = 1$を満たす自然数$x, y$の組のうち、$x$が最小である組を求めます。

$x=1,2$では$3x-1$が7の倍数とならない。$x=3$のとき、$3(3)-1 = 8$も7の倍数とならない。

$x=4,5$では$3x-1$が7の倍数とならない。$x=5$のとき、$3(5)-1 = 14$は7の倍数である。このとき$y=2$

よって、$x=5$、$y=2$が条件を満たす最小の組です。

次に、全ての自然数$x, y$の組を求めます。

$3x - 7y = 1$

$3(5) - 7(2) = 1$

辺々引くと、$3(x - 5) - 7(y - 2) = 0$

$3(x - 5) = 7(y - 2)$

3と7は互いに素なので、$x - 5 = 7k$, $y - 2 = 3k$ ($k$は整数)と表せます。

$x = 7k + 5$, $y = 3k + 2$

$x, y$は自然数なので、$k \ge 0$を満たす整数です。

3. 最終的な答え

問題59 (1): ア = 9

問題59 (2): イ = 6

問題60: アイ = 37

問題61: ア = 5, イ = 2, ウ = 7, エ = 3

$(x, y) = (7k + 5, 3k + 2)$ ($k$は0以上の整数)