自然数全体の集合をUとし、集合A, Bを以下のように定義します。 $A = \{n \mid n \text{は30で割り切れない自然数}\}$ $B = \{n \mid n \text{は5で割り切れない自然数}\}$ 問題は、以下の文中の空欄に当てはまるものを選択肢から選ぶ問題です。 (1) 自然数nがAに属することは、nが10で割り切れないための[7]。 (2) 自然数nがBに属することは、nが15で割り切れないための[8]。 選択肢： ① 必要十分条件である ② 必要条件であるが、十分条件ではない ③ 十分条件であるが、必要条件ではない ④ 必要条件でも十分条件でもない

1. 問題の内容

自然数全体の集合をUとし、集合A, Bを以下のように定義します。

$A = \{n \mid n \text{は30で割り切れない自然数}\}$

$B = \{n \mid n \text{は5で割り切れない自然数}\}$

問題は、以下の文中の空欄に当てはまるものを選択肢から選ぶ問題です。

(1) 自然数nがAに属することは、nが10で割り切れないための[7]。

(2) 自然数nがBに属することは、nが15で割り切れないための[8]。

選択肢：

① 必要十分条件である

② 必要条件であるが、十分条件ではない

③ 十分条件であるが、必要条件ではない

④ 必要条件でも十分条件でもない

2. 解き方の手順

(1) 自然数nがAに属すること（$n \in A$）は、$n$が30で割り切れないことを意味します。

$n$が10で割り切れないことは、$n \in A$のための十分条件であるか、必要条件であるかを検討します。

* $n$が10で割り切れない $\Rightarrow$ $n$が30で割り切れない：

$n$が10で割り切れないならば、$n = 10k + r$ (kは整数、rは1, 2, ..., 9)と表せます。このとき、$n$が30で割り切れると仮定すると、$n = 30m$ (mは整数)となります。しかし、$10k + r = 30m$より、$r = 30m - 10k = 10(3m - k)$となり、$r$が10で割り切れてしまい、$r$は1, 2, ..., 9のいずれかであることに矛盾します。したがって、$n$が10で割り切れないならば、$n$は30で割り切れません。これは十分条件です。

* $n$が30で割り切れない $\Rightarrow$ $n$が10で割り切れない：

$n$が30で割り切れないとしても、$n$が10で割り切れる場合があります。例えば、$n = 20$のとき、$n$は30で割り切れませんが、10で割り切れます。これは必要条件ではありません。

したがって、$n$がAに属することは、$n$が10で割り切れないための十分条件であるが、必要条件ではありません。

(2) 自然数nがBに属すること（$n \in B$）は、$n$が5で割り切れないことを意味します。

$n$が15で割り切れないことは、$n \in B$のための十分条件であるか、必要条件であるかを検討します。

* $n$が15で割り切れない $\Rightarrow$ $n$が5で割り切れない：

$n$が15で割り切れないならば、$n = 15k + r$ (kは整数、rは1, 2, ..., 14)と表せます。このとき、$n$が5で割り切れると仮定すると、$n = 5m$ (mは整数)となります。しかし、$15k + r = 5m$より、$r = 5m - 15k = 5(m - 3k)$となり、$r$が5で割り切れてしまいます。$r$は1, 2, ..., 14のいずれかであるため、これは、$r$が5の倍数でない場合に矛盾します。たとえば、$r = 1$のとき、$n$が15で割り切れないことは、$n$が5で割り切れないことの十分条件になりえます。

* $n$が5で割り切れない $\Rightarrow$ $n$が15で割り切れない：

$n$が5で割り切れないならば、$n = 5k + r$ (kは整数、rは1, 2, 3, 4)と表せます。もし、$n$が15で割り切れるならば、$n = 15m$ (mは整数)と表せます。ここで、$n = 5k + r = 15m$より、$r = 15m - 5k = 5(3m - k)$となり、$r$が5で割り切れてしまい、$r$は1, 2, 3, 4のいずれかであることに矛盾します。したがって、$n$が5で割り切れないならば、$n$は15で割り切れません。これは必要条件です。

$n$が15で割り切れないならば、$n$が5で割り切れないは成り立ちませんが、$n$が5で割り切れないならば、$n$が15で割り切れないは成り立ちます。そのため、$n$がBに属することは、$n$が15で割り切れないための必要条件であるが、十分条件ではありません。

3. 最終的な答え

7: ③

8: ②