$\sqrt{53-2n}$ が整数となるような自然数 $n$ の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{53-2n}$ が整数となるような自然数 $n$ の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{53-2n}$ が整数となるためには、$53-2n$ が0以上の平方数である必要があります。なぜなら、$\sqrt{x}$ が整数となるのは $x$ が平方数の時のみだからです。

すなわち、$53-2n = k^2$ （$k$ は0以上の整数）となる必要があります。

また、$n$ は自然数なので、$n \geq 1$ です。

したがって、$53 - 2n \leq 53 - 2(1) = 51$ となります。

よって、$k^2 \leq 51$ を満たす0以上の整数 $k$ を考えます。

$k=0$ のとき、$53 - 2n = 0$ より $2n = 53$ となり、$n = \frac{53}{2}$ となりますが、これは自然数ではないので不適です。

$k=1$ のとき、$53 - 2n = 1$ より $2n = 52$ となり、$n = 26$ となります。

$k=2$ のとき、$53 - 2n = 4$ より $2n = 49$ となり、$n = \frac{49}{2}$ となりますが、これは自然数ではないので不適です。

$k=3$ のとき、$53 - 2n = 9$ より $2n = 44$ となり、$n = 22$ となります。

$k=4$ のとき、$53 - 2n = 16$ より $2n = 37$ となり、$n = \frac{37}{2}$ となりますが、これは自然数ではないので不適です。

$k=5$ のとき、$53 - 2n = 25$ より $2n = 28$ となり、$n = 14$ となります。

$k=6$ のとき、$53 - 2n = 36$ より $2n = 17$ となり、$n = \frac{17}{2}$ となりますが、これは自然数ではないので不適です。

$k=7$ のとき、$53 - 2n = 49$ より $2n = 4$ となり、$n = 2$ となります。

$53 - 2n = k^2$ を変形すると $2n = 53 - k^2$ となります。$n$ が自然数であるためには、$53 - k^2$ が正の偶数である必要があります。言い換えると、$53 - k^2 > 0$ かつ $53 - k^2$ が偶数である必要があります。

$53 - k^2 > 0$ より $k^2 < 53$ なので、$k$ は $0 \le k \le 7$ を満たす整数です。

また、$53 - k^2$ が偶数であるためには、$k^2$ が奇数である必要があります。したがって、$k$ は奇数です。

よって、$k$ の候補は $1, 3, 5, 7$ です。

$k=1$ のとき、$n = \frac{53 - 1}{2} = \frac{52}{2} = 26$

$k=3$ のとき、$n = \frac{53 - 9}{2} = \frac{44}{2} = 22$

$k=5$ のとき、$n = \frac{53 - 25}{2} = \frac{28}{2} = 14$

$k=7$ のとき、$n = \frac{53 - 49}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$n$ はすべて自然数なので、条件を満たす $n$ は $2, 14, 22, 26$ の4個です。

3. 最終的な答え

4個