すべての自然数 $n$ に対して、$2^{n-1} + 3^{3n-2} + 7^{n-1}$ が5の倍数であることを数学的帰納法を用いて証明する。

1. 問題の内容

すべての自然数 $n$ に対して、$2^{n-1} + 3^{3n-2} + 7^{n-1}$ が5の倍数であることを数学的帰納法を用いて証明する。

2. 解き方の手順

(1) $n=1$ のときを確かめる。

$n=1$のとき、$2^{1-1} + 3^{3\cdot 1-2} + 7^{1-1} = 2^0 + 3^1 + 7^0 = 1 + 3 + 1 = 5$ となり、5の倍数である。

(2) $n=k$ のとき、$2^{k-1} + 3^{3k-2} + 7^{k-1}$ が5の倍数であると仮定する。すなわち、$2^{k-1} + 3^{3k-2} + 7^{k-1} = 5m$ (mは整数) とおく。

(3) $n=k+1$ のとき、$2^{k} + 3^{3(k+1)-2} + 7^{k}$ が5の倍数であることを示す。

$2^{k} + 3^{3(k+1)-2} + 7^{k} = 2 \cdot 2^{k-1} + 3^3 \cdot 3^{3k-2} + 7 \cdot 7^{k-1} = 2 \cdot 2^{k-1} + 27 \cdot 3^{3k-2} + 7 \cdot 7^{k-1}$

$= 2 \cdot 2^{k-1} + 27 \cdot 3^{3k-2} + 7 \cdot 7^{k-1} = 2 \cdot 2^{k-1} + (25 + 2) \cdot 3^{3k-2} + 7 \cdot 7^{k-1}$

$= 2 \cdot 2^{k-1} + 25 \cdot 3^{3k-2} + 2 \cdot 3^{3k-2} + 7 \cdot 7^{k-1} = 2(2^{k-1} + 3^{3k-2}) + 7 \cdot 7^{k-1} + 25 \cdot 3^{3k-2}$

$= 2(2^{k-1} + 3^{3k-2} + 7^{k-1}) + 5 \cdot 7^{k-1} + 25 \cdot 3^{3k-2}$

$= 2(5m - 7^{k-1}) + 5 \cdot 7^{k-1} + 25 \cdot 3^{3k-2}$

$= 10m - 2 \cdot 7^{k-1} + 7 \cdot 7^{k-1} + 25 \cdot 3^{3k-2} = 10m + 5 \cdot 7^{k-1} + 25 \cdot 3^{3k-2}$

$= 5(2m + 7^{k-1} + 5 \cdot 3^{3k-2})$

$2m + 7^{k-1} + 5 \cdot 3^{3k-2}$ は整数なので、$5(2m + 7^{k-1} + 5 \cdot 3^{3k-2})$ は5の倍数である。

(4) したがって、すべての自然数 $n$ に対して、$2^{n-1} + 3^{3n-2} + 7^{n-1}$ は5の倍数である。

3. 最終的な答え

すべての自然数 $n$ に対して、$2^{n-1} + 3^{3n-2} + 7^{n-1}$ は5の倍数である。