$p$ を素数、$n$ を自然数とする。 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p^n}$ かつ $x < y$ を満たす自然数 $x, y$ の組を考える。 (1) $p=3, n=1$ のとき、条件を満たす自然数 $x, y$ の組を求める。 (2) $n=1$ のとき、条件を満たす自然数 $x, y$ の組を求める。 (3) $n=2$ のとき、条件を満たす自然数 $x, y$ の組の個数を求める。 (4) 自然数 $n$ に対して、条件を満たす自然数 $x, y$ の組の個数を求める。

1. 問題の内容

$p$ を素数、$n$ を自然数とする。

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p^n}$ かつ $x < y$ を満たす自然数 $x, y$ の組を考える。

(1) $p=3, n=1$ のとき、条件を満たす自然数 $x, y$ の組を求める。

(2) $n=1$ のとき、条件を満たす自然数 $x, y$ の組を求める。

(3) $n=2$ のとき、条件を満たす自然数 $x, y$ の組の個数を求める。

(4) 自然数 $n$ に対して、条件を満たす自然数 $x, y$ の組の個数を求める。

2. 解き方の手順

与えられた式 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p^n}$ を変形する。

両辺に $xyp^n$ を掛けると、

$yp^n + xp^n = xy$

$xy - xp^n - yp^n = 0$

両辺に $p^{2n}$ を加えると、

$xy - xp^n - yp^n + p^{2n} = p^{2n}$

$(x - p^n)(y - p^n) = p^{2n}$

$x < y$ より、$x - p^n < y - p^n$ である。

(1) $p=3, n=1$ のとき、$(x - 3)(y - 3) = 3^2 = 9$ となる。

$x - 3, y - 3$ は自然数であり、$x < y$ を満たす必要がある。

考えられる組み合わせは、

$x - 3 = 1, y - 3 = 9$ より $x = 4, y = 12$

$x - 3 = 3, y - 3 = 3$ より $x = 6, y = 6$

$x < y$ である必要があるため、$x = 6, y = 6$ は条件を満たさない。

よって、$(x, y) = (4, 12)$

(2) $n=1$ のとき、$(x - p)(y - p) = p^2$ となる。

$x - p, y - p$ は自然数であり、$x < y$ を満たす必要がある。

考えられる組み合わせは、

$x - p = 1, y - p = p^2$ より $x = p + 1, y = p^2 + p$

$x - p = p, y - p = p$ より $x = 2p, y = 2p$

$x < y$ である必要があるため、$x = 2p, y = 2p$ は条件を満たさない。

よって、$(x, y) = (p+1, p^2+p)$

(3) $n=2$ のとき、$(x - p^2)(y - p^2) = p^4$ となる。

$x - p^2, y - p^2$ は自然数であり、$x < y$ を満たす必要がある。

考えられる組み合わせは、

$x - p^2 = 1, y - p^2 = p^4$ より $x = p^2 + 1, y = p^4 + p^2$

$x - p^2 = p, y - p^2 = p^3$ より $x = p^2 + p, y = p^3 + p^2$

$x - p^2 = p^2, y - p^2 = p^2$ より $x = 2p^2, y = 2p^2$

$x < y$ である必要があるため、$x = 2p^2, y = 2p^2$ は条件を満たさない。

よって、$(x, y) = (p^2+1, p^4+p^2), (p^2+p, p^3+p^2)$ の 2 組ある。

(4) $(x - p^n)(y - p^n) = p^{2n}$ となる。

$x - p^n, y - p^n$ は自然数であり、$x < y$ を満たす必要がある。

$p^{2n}$ の約数の個数は $2n + 1$ 個である。

$x < y$ であるため、$x - p^n < y - p^n$ である。

$x - p^n = p^0, p^1, p^2, \dots, p^{n-1}, p^n$ までを考えればよい。

$x - p^n = p^n$ のときは、$x = 2p^n, y = 2p^n$ となり、$x < y$ を満たさない。

$x - p^n$ は、$p^0, p^1, ..., p^{n-1}$のいずれかになる可能性がある。

したがって、組の個数は $n$ 個である。

3. 最終的な答え

ア: (4, 12)

イ: (p+1, p^2+p)

ウ: 2

エ: n