与えられた条件 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p^n}$ かつ $x < y$ を満たす自然数 $x, y$ の組について、以下の問いに答える。 (1) $p=3, n=1$ のときの $(x, y)$ の組を求める。 (2) $n=1$ のときの $(x, y)$ の組を求める。 (3) $n=2$ のときの $(x, y)$ の組の数を求める。 (4) 一般の自然数 $n$ に対する $(x, y)$ の組の数を求める。

1. 問題の内容

与えられた条件 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p^n}$ かつ $x < y$ を満たす自然数 $x, y$ の組について、以下の問いに答える。

(1) $p=3, n=1$ のときの $(x, y)$ の組を求める。

(2) $n=1$ のときの $(x, y)$ の組を求める。

(3) $n=2$ のときの $(x, y)$ の組の数を求める。

(4) 一般の自然数 $n$ に対する $(x, y)$ の組の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) $p=3, n=1$ のとき、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}$ かつ $x < y$ を満たす $(x, y)$ を求める。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{3} - \frac{1}{y} = \frac{y-3}{3y}$ より、 $x = \frac{3y}{y-3} = \frac{3y-9+9}{y-3} = 3 + \frac{9}{y-3}$.

$x$ が自然数であるためには $y-3$ が $9$ の約数である必要がある。$y>x$ より、$y-3 > x-3$.

$9$ の約数は $1, 3, 9$.

$y-3=1$ のとき $y=4$ であり $x = 3 + \frac{9}{1} = 12$. このとき $x > y$ となり条件を満たさない。

$y-3=3$ のとき $y=6$ であり $x = 3 + \frac{9}{3} = 6$. このとき $x = y$ となり条件を満たさない。

$y-3=9$ のとき $y=12$ であり $x = 3 + \frac{9}{9} = 4$. このとき $x < y$ となり条件を満たす。よって $(x, y) = (4, 12)$.

(2) $n=1$ のとき、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p}$ かつ $x < y$ を満たす $(x, y)$ を求める。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{p} - \frac{1}{y} = \frac{y-p}{py}$ より、$x = \frac{py}{y-p} = \frac{py-p^2+p^2}{y-p} = p + \frac{p^2}{y-p}$.

$x$ が自然数であるためには $y-p$ が $p^2$ の約数である必要がある。$y > x$ より、$y-p > x-p$.

$p^2$ の約数は $1, p, p^2$.

$y-p=1$ のとき $y=p+1$ であり $x = p + \frac{p^2}{1} = p + p^2$. このとき $x > y$ となり条件を満たさない。

$y-p=p$ のとき $y=2p$ であり $x = p + \frac{p^2}{p} = p + p = 2p$. このとき $x = y$ となり条件を満たさない。

$y-p=p^2$ のとき $y=p^2+p$ であり $x = p + \frac{p^2}{p^2} = p + 1$. このとき $x < y$ となり条件を満たす。よって $(x, y) = (p+1, p^2+p)$.

(3) $n=2$ のとき、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p^2}$ かつ $x < y$ を満たす $(x, y)$ の組の数を求める。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{p^2} - \frac{1}{y} = \frac{y-p^2}{p^2y}$ より、$x = \frac{p^2y}{y-p^2} = \frac{p^2y-p^4+p^4}{y-p^2} = p^2 + \frac{p^4}{y-p^2}$.

$x$ が自然数であるためには $y-p^2$ が $p^4$ の約数である必要がある。$y > x$ より、$y-p^2 > x-p^2$.

$p^4$ の約数は $1, p, p^2, p^3, p^4$.

$y-p^2=1$ のとき $y=p^2+1$ であり $x = p^2 + p^4$. このとき $x>y$ となり条件を満たさない。

$y-p^2=p$ のとき $y=p^2+p$ であり $x = p^2 + p^3$. このとき $x>y$ となり条件を満たさない。

$y-p^2=p^2$ のとき $y=2p^2$ であり $x = p^2 + p^2 = 2p^2$. このとき $x = y$ となり条件を満たさない。

$y-p^2=p^3$ のとき $y=p^2+p^3$ であり $x = p^2 + p$. このとき $x<y$ となり条件を満たす。よって $(x, y) = (p^2+p, p^2+p^3)$.

$y-p^2=p^4$ のとき $y=p^2+p^4$ であり $x = p^2 + 1$. このとき $x<y$ となり条件を満たす。よって $(x, y) = (p^2+1, p^2+p^4)$.

したがって、条件を満たす $(x, y)$ の組の数は 2 組。

(4) 一般の自然数 $n$ に対して、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p^n}$ かつ $x < y$ を満たす $(x, y)$ の組の数を求める。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{p^n} - \frac{1}{y} = \frac{y-p^n}{p^ny}$ より、$x = \frac{p^ny}{y-p^n} = \frac{p^ny-p^{2n}+p^{2n}}{y-p^n} = p^n + \frac{p^{2n}}{y-p^n}$.

$x$ が自然数であるためには $y-p^n$ が $p^{2n}$ の約数である必要がある。$y > x$ より、$y-p^n > x-p^n$.

$p^{2n}$ の約数は $1, p, p^2, ..., p^{2n}$.

$y-p^n = p^k$ (ただし $0 \le k \le 2n$)とおくと $y = p^n + p^k$ となる。

このとき $x = p^n + \frac{p^{2n}}{p^k} = p^n + p^{2n-k}$ となる。

$x < y$ であるためには $p^n + p^{2n-k} < p^n + p^k$ が必要である。

すなわち、$p^{2n-k} < p^k$, よって $2n-k < k$, $2n < 2k$, $n < k$.

したがって、$k$ は $n+1, n+2, ..., 2n$ のいずれかの値をとる。

$k$ の取りうる値の数は $2n - (n+1) + 1 = n$ 個である。

よって、条件を満たす $(x, y)$ の組の数は $n$ 組。

3. 最終的な答え

ア: (4, 12)

イ: (p+1, p^2+p)

ウ: 2

エ: n