$2^{30} < 1.1 \times 10^9$ であることを用いて、$\log_{10}2 < \frac{10}{33}$ であることを証明する。

1. 問題の内容

$2^{30} < 1.1 \times 10^9$ であることを用いて、$\log_{10}2 < \frac{10}{33}$ であることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、$2^{30} < 1.1 \times 10^9$ の両辺の常用対数をとる。

$\log_{10}(2^{30}) < \log_{10}(1.1 \times 10^9)$

$30 \log_{10}2 < \log_{10}1.1 + \log_{10}10^9$

$30 \log_{10}2 < \log_{10}1.1 + 9$

ここで、$1.1 = \frac{11}{10}$ であるから、$\log_{10}1.1 = \log_{10}11 - \log_{10}10 = \log_{10}11 - 1$。

問題文に $\log_{10}11$ の値が与えられていないため、$\log_{10}1.1$ を $\frac{1}{10}$ で近似することを試みる。

$1.1 < 10^{1/10}$ であれば、$\log_{10}1.1 < 1/10$ となり、

$30 \log_{10}2 < \frac{1}{10} + 9$

$30 \log_{10}2 < \frac{91}{10}$

$\log_{10}2 < \frac{91}{300}$

$\frac{91}{300} = \frac{9.1}{30} = \frac{9.1 \times 11}{30 \times 11} = \frac{100.1}{330}$

目標は $\log_{10}2 < \frac{10}{33}$ なので、$\log_{10}2 < \frac{100}{330} = \frac{10}{33}$ を示したい。

$30 \log_{10} 2 < \log_{10} 1.1 + 9$ より、

$\log_{10} 2 < \frac{1}{30}\log_{10} 1.1 + \frac{9}{30}$

$\log_{10} 2 < \frac{1}{30}\log_{10} 1.1 + \frac{3}{10}$

$1.1 \times 10^9 = 11 \times 10^8 < (2^{10})^3= 2^{30}$

$2^{30} < 1.1 \times 10^9$

両辺常用対数取ると

$30 \log_{10} 2 < \log_{10}(1.1 \times 10^9) = \log_{10}1.1 + 9$

$\log_{10} 2 < \frac{1}{30} \log_{10} 1.1 + \frac{9}{30}$

$\log_{10} 2 < \frac{1}{30} \log_{10} 1.1 + \frac{3}{10}$

ここで$\log_{10} 1.1 < \frac{1}{10}$なので

$\log_{10} 2 < \frac{1}{30} \times \frac{1}{10} + \frac{3}{10} = \frac{1}{300} + \frac{90}{300} = \frac{91}{300}$

$\frac{91}{300} = \frac{91}{300} = \frac{9.1}{30} = \frac{9.1 \times 1.1}{30 \times 1.1} = \frac{10.01}{33}$

$\log_{10} 2 < \frac{10.01}{33}$

よって$\log_{10} 2 < \frac{10}{33}$となる.

3. 最終的な答え

$\log_{10}2 < \frac{10}{33}$