問題は、$\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ において、$\frac{1}{3}$ に対応する数と、それを用いて $4 \div 3$ を計算するものです。

1. 問題の内容

問題は、$\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ において、$\frac{1}{3}$ に対応する数と、それを用いて $4 \div 3$ を計算するものです。

2. 解き方の手順

$\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ は、7 を法とする整数の集合 $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ です。

$\frac{1}{3}$ に対応する数 $x$ は、$3x \equiv 1 \pmod{7}$ を満たす整数です。

つまり、$3x$ を 7 で割った余りが 1 になるような $x$ を探します。

$x=1$ のとき、$3 \times 1 = 3 \equiv 3 \pmod{7}$

$x=2$ のとき、$3 \times 2 = 6 \equiv 6 \pmod{7}$

$x=3$ のとき、$3 \times 3 = 9 \equiv 2 \pmod{7}$

$x=4$ のとき、$3 \times 4 = 12 \equiv 5 \pmod{7}$

$x=5$ のとき、$3 \times 5 = 15 \equiv 1 \pmod{7}$

したがって、$\frac{1}{3}$ に対応する数は 5 です。

次に、$4 \div 3$ を計算します。これは、$4 \times \frac{1}{3}$ を計算することと同じです。

$\frac{1}{3}$ に対応する数が 5 なので、$4 \div 3 \equiv 4 \times 5 \pmod{7}$ を計算します。

$4 \times 5 = 20$

$20 \equiv 6 \pmod{7}$

したがって、$4 \div 3 = 6$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$ に対応する数は 5 であり、$4 \div 3 = 6$ が成り立ちます。