命題「$n$ は整数とする。$n^2$ が3の倍数ならば、$n$ は3の倍数である」が真であることを利用して、$\sqrt{3}$ が無理数であることを証明する。

1. 問題の内容

命題「$n$ は整数とする。$n^2$ が3の倍数ならば、$n$ は3の倍数である」が真であることを利用して、$\sqrt{3}$ が無理数であることを証明する。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明する。

(1) $\sqrt{3}$ が無理数でないと仮定する。つまり、$\sqrt{3}$ が有理数であると仮定する。

(2) $\sqrt{3}$ が有理数であると仮定すると、互いに素な整数 $m, n$ ($n \neq 0$) を用いて、

$$\sqrt{3} = \frac{m}{n}$$

と表すことができる。

(3) 上式の両辺を2乗すると、

$$3 = \frac{m^2}{n^2}$$

$$3n^2 = m^2$$

となる。

(4) $3n^2 = m^2$ であるから、$m^2$ は3の倍数である。問題文で与えられた命題より、$m$ は3の倍数である。

(5) したがって、$m = 3k$ ($k$ は整数) と表すことができる。これを $3n^2 = m^2$ に代入すると、

$$3n^2 = (3k)^2$$

$$3n^2 = 9k^2$$

$$n^2 = 3k^2$$

となる。

(6) $n^2 = 3k^2$ であるから、$n^2$ は3の倍数である。問題文で与えられた命題より、$n$ は3の倍数である。

(7) $m$ と $n$ はともに3の倍数であるから、互いに素であるという仮定に矛盾する。

(8) よって、$\sqrt{3}$ が有理数であるという仮定が誤りである。したがって、$\sqrt{3}$ は無理数である。

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}$ は無理数である。