$\sqrt{2}$が無理数であることを利用して、$3\sqrt{2}$が無理数であることを証明する問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}$が無理数であることを利用して、$3\sqrt{2}$が無理数であることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

背理法を使って証明します。

ステップ1：$3\sqrt{2}$が無理数でないと仮定します。つまり、$3\sqrt{2}$は有理数であると仮定します。

選択肢：力　→　①有理数

ステップ2：$3\sqrt{2} = r$とおきます。ここで、$r$は有理数です。

$3\sqrt{2} = r$

ステップ3：$\sqrt{2}$について解きます。両辺を3で割ると、

$\sqrt{2} = \frac{r}{3}$

選択肢：キ　→　③ $\frac{r}{3}$

ステップ4：$r$が有理数であるとき、$\frac{r}{3}$も有理数です。したがって、$\sqrt{2}$も有理数であることになります。

ステップ5：しかし、$\sqrt{2}$は無理数であることがわかっているので、これは矛盾します。

選択肢：ク　→　①有理数

ステップ6：したがって、最初の仮定である「$3\sqrt{2}$が無理数でない」が誤りであることが示されました。

ステップ7：結論として、$3\sqrt{2}$は無理数です。

3. 最終的な答え

カ：① 有理数

キ：③ $\frac{r}{3}$

ク：① 有理数