整数 $n$ に対して、「$n^2$ が 7 の倍数ならば、$n$ は 7 の倍数である」という命題が真であるという事実を利用して、$\sqrt{7}$ が無理数であることを証明する。

1. 問題の内容

整数 $n$ に対して、「$n^2$ が 7 の倍数ならば、$n$ は 7 の倍数である」という命題が真であるという事実を利用して、$\sqrt{7}$ が無理数であることを証明する。

2. 解き方の手順

背理法を用いる。

1. $\sqrt{7}$ が有理数であると仮定する。

2. $\sqrt{7}$ が有理数であると仮定すると、互いに素な整数 $m, n$ ($n \neq 0$) を用いて、$\sqrt{7} = \frac{m}{n}$ と表すことができる。

3. 両辺を2乗すると、$7 = \frac{m^2}{n^2}$ となる。

4. これを整理すると、$m^2 = 7n^2$ となる。

5. $m^2 = 7n^2$ より、$m^2$ は 7 の倍数である。

6. 与えられた命題「$n^2$ が 7 の倍数ならば、$n$ は 7 の倍数である」より、$m$ は 7 の倍数である。

7. したがって、$m = 7k$ (kは整数) と表せる。

8. $m = 7k$ を $m^2 = 7n^2$ に代入すると、$(7k)^2 = 7n^2$ となる。

9. これを整理すると、$49k^2 = 7n^2$ となり、$n^2 = 7k^2$ となる。

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0. $n^2 = 7k^2$ より、$n^2$ は 7 の倍数である。

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1. 与えられた命題より、$n$ は 7 の倍数である。

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2. $m$ も $n$ も 7 の倍数となり、$m$ と $n$ が互いに素であるという仮定に矛盾する。

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3. したがって、$\sqrt{7}$ は無理数である。

3. 最終的な答え

$\sqrt{7}$ は無理数である。