整数 $n$ について、「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」ことを証明する問題です。対偶を利用した証明の穴埋め問題となっています。

1. 問題の内容

整数 $n$ について、「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」ことを証明する問題です。対偶を利用した証明の穴埋め問題となっています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた命題の対偶を考えます。「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」の対偶は、「$n$ がアならば、$n^2$ はイである」となります。ア、イの選択肢は「偶数」と「奇数」なので、$n$ が偶数ならば、$n^2$ は偶数である、となります。よって、アは偶数、イは偶数です。

次に、$n$ が偶数のとき、$n$ は整数 $k$ を用いて、$n=$ウと表されます。ウの選択肢は $2k$ と $2k+1$ ですが、偶数は $2k$ と表されるので、ウは $2k$ です。

このとき、$n^2=$エとなります。$n=2k$ なので、$n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2 \cdot 2k^2$ です。エの選択肢は、$2 \cdot 2k^2$ と $2(2k^2+2k)+1$ なので、エは$2 \cdot 2k^2$となります。

$2k^2$ は整数であるから、$n^2$ はオである。$n^2 = 2 \cdot 2k^2$ と表されるので、$n^2$ は偶数です。よって、オは偶数です。

対偶が真であるから、もとの命題も真である。

3. 最終的な答え

ア：偶数

イ：偶数

ウ：$2k$

エ：$2 \cdot 2k^2$

オ：偶数