数列が群に分けられており、各群の項数は 2, 4, 6,... と増えている。このとき、157 が第何群の何番目にあるかを求める問題。

1. 問題の内容

数列が群に分けられており、各群の項数は 2, 4, 6,... と増えている。このとき、157 が第何群の何番目にあるかを求める問題。

2. 解き方の手順

まず、$n$ 群の項数を考える。第 $n$ 群の項数は $2n$ である。

次に、第 $n$ 群までの項数の合計 $S_n$ を計算する。

$S_n = \sum_{k=1}^n 2k = 2 \sum_{k=1}^n k = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$

$S_n = n(n+1)$ となる。

157 が第 $n$ 群にあると仮定すると、$S_{n-1} < 157 \leq S_n$ が成り立つ。

$S_n = n(n+1)$ であるから、$(n-1)n < 157 \leq n(n+1)$ を満たす $n$ を探す。

$n=12$ のとき、$S_{12} = 12 \cdot 13 = 156$

$n=13$ のとき、$S_{13} = 13 \cdot 14 = 182$

したがって、第 13 群に 157 が含まれる。

$S_{12} = 156$ なので、157 は第 13 群の最初の項である。なぜなら全体で156番目までが第12群までなので、全体で157番目は第13群の1番目となる。

数列の一般項を考える。各群の数列は等差数列をなしており、初項が$a_1$, 公差が$d=2$ である。

第1群の初項は1, 第2群の初項は5, 第3群の初項は13,...となる。したがって第n群の初項を求める必要がある。

第1群の初項は$a_1=1=2(1)^2-2(1)+1$, 第2群の初項は$a_2=5=2(2)^2-2(2)+1$, 第3群の初項は$a_3=13=2(3)^2-2(3)+1$, ... となるので、第n群の初項は$a_n=2(n)^2-2(n)+1$と推測できる。

第13群の初項は、$2(13)^2-2(13)+1=339-26=313$。公差は2なので、第13群の数列は、$313, 315, 317, ...$となる。

題意からすると、数列は $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, ...$ という奇数の数列を群に分けているようである。奇数の数列なので、一般項は $2k-1$ となる。したがって、$2k-1 = 157$を解くと、$2k=158$, $k=79$。全体で79番目の項である。

$S_{n-1}<79 \le S_n$ を満たすnを求める。

$n=8$ のとき、$S_8=8(9)=72$, $n=9$のとき、$S_9=9(10)=90$。

したがって第9群にある。第9群の何番目かを求める。

$79-72=7$。第9群の7番目である。

3. 最終的な答え

第9群の7番目