$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{6}$ が無理数であることを背理法を用いて証明する。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{6}$ が無理数であることを背理法を用いて証明する。

2. 解き方の手順

背理法を用いるので、まず $\sqrt{6}$ が有理数であると仮定する。

$\sqrt{6}$ が有理数であるとすると、ある整数 $m, n$ ($n \neq 0$) を用いて $\sqrt{6} = \frac{m}{n}$ と表すことができる。ここで $m$ と $n$ は互いに素であると仮定してよい。

$\sqrt{6} = \frac{m}{n}$ の両辺を2乗すると、

$$6 = \frac{m^2}{n^2}$$

$$6n^2 = m^2$$

この式より、$m^2$ は6の倍数である。従って、$m$ も6の倍数である。

なぜなら、$m$ が6の倍数でなければ、$m = 6k \pm 1$ または $m = 6k \pm 2$ または $m = 6k \pm 3$ と表せるから、

$m^2 = (6k \pm 1)^2 = 36k^2 \pm 12k + 1 = 6(6k^2 \pm 2k) + 1$

$m^2 = (6k \pm 2)^2 = 36k^2 \pm 24k + 4 = 6(6k^2 \pm 4k) + 4$

$m^2 = (6k \pm 3)^2 = 36k^2 \pm 36k + 9 = 6(6k^2 \pm 6k + 1) + 3$

となり、$m^2$ が6の倍数とならないからである。（$k$は整数）

したがって、$m$ は6の倍数なので、$m = 6k$ と表せる。（$k$は整数）

これを $6n^2 = m^2$ に代入すると、

$$6n^2 = (6k)^2 = 36k^2$$

$$n^2 = 6k^2$$

この式より、$n^2$ は6の倍数である。従って、$n$ も6の倍数である。

よって、$m$ と $n$ はともに6の倍数となり、これは $m$ と $n$ が互いに素であるという仮定に矛盾する。

したがって、$\sqrt{6}$ は有理数であるという仮定が誤りである。

次に、$\sqrt{2} + \sqrt{3}$ が無理数であることを用いる。

もし $\sqrt{6}$ が有理数であると仮定すると、$\sqrt{6} = r$ （$r$は有理数）とおける。

$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 = 2+2\sqrt{6}+3 = 5+2\sqrt{6} = 5+2r$

$5+2r$ は有理数なので $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2$ は有理数となる。

しかし、$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ は無理数なので $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2$ が有理数であることは矛盾する。

なぜなら、無理数の二乗が有理数になることは一般にはありえないからである。具体的に、無理数である$\sqrt{2}+\sqrt{3}$を二乗して有理数になるなら、$\sqrt{2}+\sqrt{3} = a + b\sqrt{c}$とおけるから$a$, $b$, $c$は有理数になるはずである.

したがって、$\sqrt{6}$ は無理数である。

3. 最終的な答え

$\sqrt{6}$は無理数である。