$\sqrt{2} + 1$ が有理数であると仮定し、2つの自然数 $m, n$ を用いて $\sqrt{2} + 1 = \frac{n}{m}$ と表せるとする。ただし、$m, n$ は互いに素とする。このとき、$\sqrt{2}$ が $\frac{n}{m} - 1 = \frac{n-m}{m}$ となることを示す。

1. 問題の内容

$\sqrt{2} + 1$ が有理数であると仮定し、2つの自然数 $m, n$ を用いて $\sqrt{2} + 1 = \frac{n}{m}$ と表せるとする。ただし、$m, n$ は互いに素とする。このとき、$\sqrt{2}$ が $\frac{n}{m} - 1 = \frac{n-m}{m}$ となることを示す。

2. 解き方の手順

与えられた式 $\sqrt{2} + 1 = \frac{n}{m}$ から $\sqrt{2}$ について解く。

まず、両辺から1を引くと、

$\sqrt{2} = \frac{n}{m} - 1$

次に、右辺を通分して整理すると、

$\sqrt{2} = \frac{n}{m} - \frac{m}{m} = \frac{n - m}{m}$

したがって、$\sqrt{2} = \frac{n-m}{m}$ となる。

3. 最終的な答え

$\sqrt{2} = \frac{n-m}{m}$