$5^{100}$ を7で割ったときの余りを求めます。

1. 問題の内容

$5^{100}$ を7で割ったときの余りを求めます。

2. 解き方の手順

まず、$5^1$, $5^2$, $5^3$, ... を7で割った余りを計算し、規則性を見つけます。

$5^1 \equiv 5 \pmod{7}$

$5^2 \equiv 25 \equiv 4 \pmod{7}$

$5^3 \equiv 5 \times 4 \equiv 20 \equiv 6 \pmod{7}$

$5^4 \equiv 5 \times 6 \equiv 30 \equiv 2 \pmod{7}$

$5^5 \equiv 5 \times 2 \equiv 10 \equiv 3 \pmod{7}$

$5^6 \equiv 5 \times 3 \equiv 15 \equiv 1 \pmod{7}$

余りは $5, 4, 6, 2, 3, 1$ となり、6回ごとに繰り返されることがわかります。

したがって、$5^n \pmod{7}$ の値は、$n$ を6で割った余りに依存します。

$100$ を6で割ると、

$100 = 6 \times 16 + 4$

余りは4です。

よって、$5^{100} \equiv 5^4 \pmod{7}$ となります。

$5^4 \equiv 2 \pmod{7}$ なので、$5^{100} \equiv 2 \pmod{7}$ です。

3. 最終的な答え

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