$\sqrt{3} + \sqrt{5}$ が無理数であることを背理法で証明する問題です。$\sqrt{3} + \sqrt{5}$ が有理数であると仮定し、矛盾を導くことによって証明します。空欄を埋める必要があります。

1. 問題の内容

$\sqrt{3} + \sqrt{5}$ が無理数であることを背理法で証明する問題です。$\sqrt{3} + \sqrt{5}$ が有理数であると仮定し、矛盾を導くことによって証明します。空欄を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{3} + \sqrt{5} = a$ とおきます。ここで、$a$ は有理数です。

この両辺を2乗すると、

$(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = a^2$

$3 + 2\sqrt{3}\sqrt{5} + 5 = a^2$

$8 + 2\sqrt{15} = a^2$

よって、

$2\sqrt{15} = a^2 - 8$

$\sqrt{15} = \frac{a^2 - 8}{2}$

ここで、$a$ は有理数なので、$a^2$ も有理数です。したがって、$\frac{a^2 - 8}{2}$ も有理数です。

ところが、$\sqrt{15}$ は無理数であるため、$\frac{a^2 - 8}{2} = \sqrt{15}$ となることは矛盾です。

したがって、$\sqrt{3} + \sqrt{5}$ は無理数でなければなりません。

3. 最終的な答え

32-1：有理数

32-2：無理数

したがって、解答は以下のようになります。

aは 有理数 なので $\frac{a^2-8}{2}$ も 有理数 となるが、$\sqrt{15}$ が 無理数 であることに矛盾する。

よって、$\sqrt{3} + \sqrt{5}$ は 無理数 である。