$\sqrt{\frac{240-3n}{2}}$ の値が整数となるような自然数 $n$ のうちで、最も小さい値を求めます。

1. 問題の内容

$\sqrt{\frac{240-3n}{2}}$ の値が整数となるような自然数 $n$ のうちで、最も小さい値を求めます。

2. 解き方の手順

$\sqrt{\frac{240-3n}{2}}$ が整数となるためには、まず $\frac{240-3n}{2}$ が整数の二乗でなければなりません。

つまり、

$\frac{240-3n}{2} = k^2$　（$k$ は整数）

と表せます。

これを変形すると、

$240-3n = 2k^2$

$3n = 240 - 2k^2$

$n = \frac{240 - 2k^2}{3}$

$n = 80 - \frac{2k^2}{3}$

$n$ が自然数となるためには、まず $\frac{2k^2}{3}$ が整数でなければなりません。つまり、$k^2$ は3の倍数である必要があり、$k$ は3の倍数でなければなりません。したがって、$k = 3m$ ( $m$ は整数 ) と置けます。

これを代入すると、

$n = 80 - \frac{2(3m)^2}{3}$

$n = 80 - \frac{2 \cdot 9m^2}{3}$

$n = 80 - 6m^2$

$n$ は自然数なので、$n > 0$ である必要があります。

$80 - 6m^2 > 0$

$6m^2 < 80$

$m^2 < \frac{80}{6} = \frac{40}{3} = 13.33...$

$m$ は整数なので、$m^2$ は $0, 1, 4, 9$ となります。$m$ は $0, \pm1, \pm2, \pm3$

$n$ が最も小さい自然数となるのは、$6m^2$ が最も大きくなるときです。したがって、$m^2$ は $9$ となるので、$m = \pm3$

$n = 80 - 6(9)$

$n = 80 - 54 = 26$

$m = 2$ のとき、$n = 80 - 6(4) = 80 - 24 = 56$

$m = 1$ のとき、$n = 80 - 6(1) = 80 - 6 = 74$

$m = 0$ のとき、$n = 80 - 6(0) = 80$

$n = 26$ のとき、$\sqrt{\frac{240-3(26)}{2}} = \sqrt{\frac{240-78}{2}} = \sqrt{\frac{162}{2}} = \sqrt{81} = 9$

3. 最終的な答え

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