整数 $n$ と実数 $\alpha$ が、$2-\sqrt{10-n} + \alpha$ が整数であり、$0 \le \alpha < 1$ を満たすとき、$n$ と $\alpha$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

整数 $n$ と実数 $\alpha$ が、$2-\sqrt{10-n} + \alpha$ が整数であり、$0 \le \alpha < 1$ を満たすとき、$n$ と $\alpha$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$2-\sqrt{10-n} + \alpha$ が整数なので、$2-\sqrt{10-n} + \alpha = k$ （$k$ は整数）とおく。

この式を変形すると、

$\sqrt{10-n} = 2 + \alpha - k$

$\sqrt{10-n} = (2-k) + \alpha$

ここで、$0 \le \alpha < 1$ より、$2-k$ は $\sqrt{10-n}$ の整数部分である。なぜならば、$\sqrt{10-n}$ は実数であるから、$\sqrt{10-n} = \text{整数} + \text{小数}$という形に一意的に表せる。

$\sqrt{10-n} \ge 0$ であるから、$2-k \ge 0$ 。ゆえに、$k \le 2$。

$10-n \ge 0$ より、$n \le 10$。

$10-n$ は平方数でなければならない。なぜならば、$n$は整数なので、$10-n$も整数になる。よって、$\sqrt{10-n} = (2-k) + \alpha$において、$\alpha \neq 0$ならば$\sqrt{10-n}$は無理数となり、$2-k$は$\sqrt{10-n}$の整数部分なので矛盾する。よって$\alpha = 0$。よって$\sqrt{10-n} = 2-k$

$10-n = (2-k)^2$

$n = 10 - (2-k)^2$

$k$ は整数なので、$k$の値を具体的に代入して$n$を求める。

$k=2$のとき、$n = 10 - (2-2)^2 = 10 - 0 = 10$。このとき、$2-\sqrt{10-10} + \alpha = 2 + \alpha = 2$。よって$\alpha=0$。

$k=1$のとき、$n = 10 - (2-1)^2 = 10 - 1 = 9$。このとき、$2-\sqrt{10-9} + \alpha = 2-1 + \alpha = 1 + \alpha = 1$。よって$\alpha=0$。

$k=0$のとき、$n = 10 - (2-0)^2 = 10 - 4 = 6$。このとき、$2-\sqrt{10-6} + \alpha = 2-2 + \alpha = 0 + \alpha = 0$。よって$\alpha=0$。

$k=-1$のとき、$n = 10 - (2-(-1))^2 = 10 - 9 = 1$。このとき、$2-\sqrt{10-1} + \alpha = 2-3 + \alpha = -1 + \alpha = -1$。よって$\alpha=0$。

$k=-2$のとき、$n = 10 - (2-(-2))^2 = 10 - 16 = -6$。これは不適。

$\sqrt{10-n}$が整数のとき、$\alpha = 0$

$\alpha = 0$であるときの$n$と$\alpha$の組み合わせを求める。

$n=10$のとき$\alpha=0$

$n=9$のとき$\alpha=0$

$n=6$のとき$\alpha=0$

$n=1$のとき$\alpha=0$

$2-\sqrt{10-n}$が整数になるのは、$\sqrt{10-n}$が整数のとき。

$\sqrt{10-n} = m$ （$m$ は整数）とおくと、$10-n = m^2$ より、$n = 10-m^2$

このとき、$2-\sqrt{10-n} + \alpha = 2-m+\alpha$ が整数なので、$\alpha=0$。

選択肢に当てはまるものを選ぶ。$n$ の選択肢は $1, 0, -1, -2$。 $\alpha$ の選択肢は $4-\sqrt{10}, 3-\sqrt{10}, 2-\sqrt{10}, 1-\sqrt{10}$。

$n=1$のとき、$2-\sqrt{10-1} = 2-3 = -1$ （整数）なので、$\alpha=0$。

$n=1$ を代入すると、$2 - \sqrt{10-1} + \alpha = 2 - 3 + \alpha = -1 + \alpha$ が整数。

$0 \le \alpha < 1$ なので、$\alpha=0$。

$n=1$ のとき、$\alpha=0$。

3. 最終的な答え

n = 1

α = 0