整数 $a, b$ が方程式 $3^a - 2^b = 1$ を満たしている。 (1) $a, b$ がともに正であることを示す。 (2) $b > 1$ ならば、$a$ が偶数であることを示す。 (3) 方程式を満たす整数の組 $(a, b)$ をすべて求める。

1. 問題の内容

整数 $a, b$ が方程式 $3^a - 2^b = 1$ を満たしている。

(1) $a, b$ がともに正であることを示す。

(2) $b > 1$ ならば、$a$ が偶数であることを示す。

(3) 方程式を満たす整数の組 $(a, b)$ をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) $a, b$ がともに正であることを示す。

　$a \le 0$ と仮定すると、$3^a \le 1$ である。

　$a = 0$ ならば、$3^0 - 2^b = 1 - 2^b = 1$ より、$2^b = 0$ となり、これは矛盾する。

　$a < 0$ ならば、$3^a < 1$ であるから、$3^a - 2^b = 1$ より、$2^b = 3^a - 1 < 0$ となり、これも矛盾する。

　したがって、$a > 0$ である。

　$b \le 0$ と仮定すると、$2^b \le 1$ である。

　$b = 0$ ならば、$3^a - 2^0 = 3^a - 1 = 1$ より、$3^a = 2$ となり、これを満たす整数 $a$ は存在しない。

　$b < 0$ ならば、$2^b < 1$ であるから、$3^a - 2^b = 1$ より、$3^a = 1 + 2^b > 1$ である。

　$b < 0$ より、$0 < 2^b < 1$ なので、$1 < 3^a < 2$ である。

　これを満たす整数 $a$ は存在しない。

　したがって、$b > 0$ である。

(2) $b > 1$ ならば、$a$ が偶数であることを示す。

　$3^a - 2^b = 1$ より、$3^a = 1 + 2^b$ である。

　$b > 1$ なので、$2^b$ は 4 の倍数である。つまり、$2^b \equiv 0 \pmod{4}$ である。

　よって、$3^a \equiv 1 \pmod{4}$ である。

　$3^1 \equiv 3 \pmod{4}$ であり、$3^2 \equiv 1 \pmod{4}$ である。

　したがって、$a$ が奇数ならば、$3^a \equiv 3 \pmod{4}$ であり、$a$ が偶数ならば、$3^a \equiv 1 \pmod{4}$ である。

　$3^a \equiv 1 \pmod{4}$ なので、$a$ は偶数である。

(3) 方程式を満たす整数の組 $(a, b)$ をすべて求める。

　$a = 1$ のとき、$3^1 - 2^b = 1$ より、$2^b = 2$ なので、$b = 1$ である。したがって、$(a, b) = (1, 1)$ である。

　$a = 2$ のとき、$3^2 - 2^b = 1$ より、$9 - 2^b = 1$ なので、$2^b = 8 = 2^3$ より、$b = 3$ である。したがって、$(a, b) = (2, 3)$ である。

　$a = 4$ のとき、$3^4 - 2^b = 1$ より、$81 - 2^b = 1$ なので、$2^b = 80$ であるが、これを満たす整数 $b$ は存在しない。

　$a$ が偶数のとき、$a = 2k$ とおける。

　$3^{2k} - 1 = 2^b$ より、$(3^k - 1)(3^k + 1) = 2^b$ である。

　$3^k - 1$ と $3^k + 1$ はともに偶数であり、$3^k + 1 - (3^k - 1) = 2$ であるから、$3^k - 1 = 2^m$、$3^k + 1 = 2^n$ （$m < n$）とおくと、$2^n - 2^m = 2$ である。

　$2^m(2^{n-m} - 1) = 2$ より、$2^m = 2$ かつ $2^{n-m} - 1 = 1$ である。

　したがって、$m = 1$ かつ $2^{n-m} = 2$ なので、$n - m = 1$ より、$n = 2$ である。

　$3^k - 1 = 2^m = 2$ より、$3^k = 3$ なので、$k = 1$ である。

　$a = 2k = 2$ であり、$3^2 - 2^b = 1$ より、$9 - 2^b = 1$ なので、$2^b = 8$ より、$b = 3$ である。

　よって、$(a, b) = (2, 3)$ である。

　$a$ が 3 以上の奇数のとき、$3^a = 1 + 2^b$ となる $b$ が存在しないことを示す。

$a = 2n+1$ ($n \ge 1$)とする。$3^{2n+1} - 1 = 3(3^{2n}) - 1 = 3(9^n) - 1$

3. 最終的な答え

(1) $a, b$ はともに正である。

(2) $b > 1$ ならば、$a$ は偶数である。

(3) $(a, b) = (1, 1), (2, 3)$