$N = 25200$ について、以下の問題を解く。 (1) $N$ を素因数分解する。 (2) $N$ の正の約数の個数、偶数の個数、3の倍数の個数、6の倍数の個数を求める。 (3) $N$ の正の約数の総和を求める。 (4) $N$ の正の約数のうち、2の倍数であるが3の倍数でないものの総和を求める。

1. 問題の内容

$N = 25200$ について、以下の問題を解く。

(1) $N$ を素因数分解する。

(2) $N$ の正の約数の個数、偶数の個数、3の倍数の個数、6の倍数の個数を求める。

(3) $N$ の正の約数の総和を求める。

(4) $N$ の正の約数のうち、2の倍数であるが3の倍数でないものの総和を求める。

2. 解き方の手順

(1) $N = 25200$ を素因数分解する。

$25200 = 252 \times 100 = 2^2 \times 63 \times 2^2 \times 5^2 = 2^4 \times 3^2 \times 7 \times 5^2$

よって、$N = 2^4 \times 3^2 \times 5^2 \times 7^1$。

(2)

$N$ の正の約数の個数は、各素因数の指数の値に1を加えて掛け合わせたものである。

約数の個数 = $(4+1)(2+1)(2+1)(1+1) = 5 \times 3 \times 3 \times 2 = 90$ 個。

偶数の約数は、$2^0$を含まない約数の数である。つまり、2の指数の取りうる値は$1, 2, 3, 4$ の4通り。

偶数の約数の個数は、 $4 \times (2+1)(2+1)(1+1) = 4 \times 3 \times 3 \times 2 = 72$ 個。

3の倍数の約数は、$3^0$を含まない約数の数である。つまり、3の指数の取りうる値は$1, 2$ の2通り。

3の倍数の約数の個数は、 $(4+1) \times 2 \times (2+1)(1+1) = 5 \times 2 \times 3 \times 2 = 60$ 個。

6の倍数の約数は、$2^0$および$3^0$を含まない約数の数である。2の指数の取りうる値は$1, 2, 3, 4$ の4通りで、3の指数の取りうる値は$1, 2$ の2通り。

6の倍数の約数の個数は、$4 \times 2 \times (2+1)(1+1) = 4 \times 2 \times 3 \times 2 = 48$ 個。

(3) $N$ の正の約数の総和は、各素因数について、$1+p+p^2+...+p^n$の和を掛け合わせたものである。

約数の総和 = $(1+2+2^2+2^3+2^4)(1+3+3^2)(1+5+5^2)(1+7) = (1+2+4+8+16)(1+3+9)(1+5+25)(8) = 31 \times 13 \times 31 \times 8 = 101384$。

(4) $N$ の正の約数のうち、2の倍数であるが3の倍数でないものの総和を求める。

2の倍数の約数の総和から、6の倍数の約数の総和を引けばよい。

2の倍数の約数の総和を求める。

$(2+2^2+2^3+2^4)(1+3+3^2)(1+5+5^2)(1+7) = 30 \times 13 \times 31 \times 8 = 96720$

6の倍数の約数の総和を求める。

$(2+2^2+2^3+2^4)(3+3^2)(1+5+5^2)(1+7) = 30 \times 12 \times 31 \times 8 = 89280$

$96720 - 44640 = 52080$

約数のうち2の倍数で3の倍数でないものの総和は、(2の倍数の総和) - (6の倍数の総和)で計算できる。

2の倍数の総和 = $(2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4)(1+3+3^2)(1+5+5^2)(1+7) = 30 * 13 * 31 * 8 = 96720$

6の倍数の総和 = $(2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4)(3^1+3^2)(1+5+5^2)(1+7) = 30 * 12 * 31 * 8 = 89280$

したがって、$96720-89280 = 7440$

3. 最終的な答え

(1) $N = 2^4 \times 3^2 \times 5^2 \times 7$

(2) 約数の個数: 90, 偶数の個数: 72, 3の倍数の個数: 60, 6の倍数の個数: 48

(3) 約数の総和: 101384

(4) 2の倍数であるが3の倍数でないものの総和: 7440