すべての自然数 $n$ に対して、$2^{2n+1} + 3(-1)^n$ が5の倍数であることを数学的帰納法を用いて証明する。

1. 問題の内容

すべての自然数 $n$ に対して、$2^{2n+1} + 3(-1)^n$ が5の倍数であることを数学的帰納法を用いて証明する。

2. 解き方の手順

(1) $n=1$ のとき

$2^{2(1)+1} + 3(-1)^1 = 2^3 + 3(-1) = 8 - 3 = 5$

5は5の倍数なので、$n=1$ のとき成り立つ。

(2) $n=k$ のとき、$2^{2k+1} + 3(-1)^k$ が5の倍数であると仮定する。

つまり、$2^{2k+1} + 3(-1)^k = 5m$ （$m$は整数）と表せると仮定する。

(3) $n=k+1$ のときを考える。

$2^{2(k+1)+1} + 3(-1)^{k+1} = 2^{2k+3} + 3(-1)^{k+1}$

$= 2^2 \cdot 2^{2k+1} + 3(-1)(-1)^k = 4 \cdot 2^{2k+1} - 3(-1)^k$

ここで、$2^{2k+1} = 5m - 3(-1)^k$ (仮定より) なので、

$4 \cdot 2^{2k+1} - 3(-1)^k = 4(5m - 3(-1)^k) - 3(-1)^k = 20m - 12(-1)^k - 3(-1)^k$

$= 20m - 15(-1)^k = 5(4m - 3(-1)^k)$

$4m - 3(-1)^k$ は整数なので、$5(4m - 3(-1)^k)$ は5の倍数である。

したがって、$n=k+1$ のときも、$2^{2(k+1)+1} + 3(-1)^{k+1}$ は5の倍数である。

(1)(2)(3)より、すべての自然数$n$に対して、$2^{2n+1} + 3(-1)^n$は5の倍数である。

3. 最終的な答え

すべての自然数$n$に対して、$2^{2n+1} + 3(-1)^n$は5の倍数である。