(1) $10^{10}$ を $2020$ で割った余りを求めよ。 (2) 100桁の正の整数で各位の数の和が $2$ となるもののうち、$2020$ で割り切れるものの個数を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $10^{10}$ を $2020$ で割った余りを求めよ。

(2) 100桁の正の整数で各位の数の和が $2$ となるもののうち、$2020$ で割り切れるものの個数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $10^{10}$ を $2020$ で割った余りを求める。

まず、$2020 = 20 \times 101 = 4 \times 5 \times 101$ である。

$10^{10}$ は $4$ でも $5$ でも割り切れる。

$10^{10} = 100 \times 10^8 = 10000000000$.

$10^{10} = 101q + r$ とおく ($0 \le r < 101$).

$10^{10} \equiv r \pmod{101}$

$10^2 = 100 \equiv -1 \pmod{101}$

$10^{10} = (10^2)^5 \equiv (-1)^5 \equiv -1 \equiv 100 \pmod{101}$

よって、$r = 100$

$10^{10} = 4k_1$

$10^{10} = 5k_2$

$10^{10} = 101k_3 + 100$

$x \equiv 0 \pmod{4}$

$x \equiv 0 \pmod{5}$

$x \equiv 100 \pmod{101}$

$x = 20n$

$20n \equiv 100 \pmod{101}$

$20n = 101m + 100$

$20n \equiv 100 \pmod{101}$

$n \equiv 5 \pmod{101}$

$n = 101k + 5$

$x = 20(101k+5) = 2020k + 100$

したがって、$10^{10}$ を $2020$ で割った余りは $100$ である。

(2) 100桁の正の整数で各位の数の和が $2$ となるものは、$200\dots0$ または $10\dots010\dots0$ の形である。

$200\dots0$ （先頭に2、残りは0）の場合は、$2 \times 10^{99}$ である。

このとき、$2 \times 10^{99} \equiv 100 \pmod{2020}$ であったので、この形は条件を満たさない。

$10\dots010\dots0$ の形の場合、1が2つある。

2020 で割り切れる必要があるため、末尾2桁は20の倍数である必要がある。

よって、末尾2桁は00である。

100桁なので、$10^{99} \le N < 10^{100}$。

$N = a \times 10^x + 1 \times 10^y$ とおく。ただし、$x > y$ である。

$N = 10^x + 10^y$ が $2020$ で割り切れる。

$x,y$ は $0 \le y < x \le 99$ を満たす。

$10^x + 10^y = 10^y(10^{x-y} + 1)$.

$2020 = 20 \times 101$

$10^y(10^{x-y} + 1)$ が $2020$ の倍数であるためには、$10^y$ が $20$ で割り切れる必要がある。

したがって、$y \ge 2$

$10^{x-y} + 1$ が $101$ で割り切れる必要がある。

$10^{x-y} \equiv -1 \pmod{101}$

$10^2 \equiv -1 \pmod{101}$

$x-y = 50$

$y \ge 2$ なので、$x=y+50$ の条件を満たす。

$y=2,3,\dots,49$ のとき、$x = 52, 53, \dots, 99$

$y$ は $2$ から $49$ までの $48$ 通りある。

3. 最終的な答え

(1) 100

(2) 48