この問題は、2つの命題を証明する問題です。 (1) 整数 $n$ が3の倍数でないとき、$n^2$ を3で割った余りが1であることを証明します。 (2) 3つの整数 $x, y, z$ が等式 $x^2 + y^2 = z^2$ を満たすとき、$x$ と $y$ の少なくとも一方が3の倍数であることを証明します。

1. 問題の内容

この問題は、2つの命題を証明する問題です。

(1) 整数 $n$ が3の倍数でないとき、$n^2$ を3で割った余りが1であることを証明します。

(2) 3つの整数 $x, y, z$ が等式 $x^2 + y^2 = z^2$ を満たすとき、$x$ と $y$ の少なくとも一方が3の倍数であることを証明します。

2. 解き方の手順

(1) について：

$n$ が3の倍数でないとき、$n$ は $3k+1$ または $3k+2$ ( $k$ は整数) と表すことができます。

(i) $n = 3k+1$ のとき、

$n^2 = (3k+1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$

よって、$n^2$ を3で割った余りは1です。

(ii) $n = 3k+2$ のとき、

$n^2 = (3k+2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$

よって、$n^2$ を3で割った余りは1です。

したがって、いずれの場合も $n^2$ を3で割った余りは1となります。

(2) について：

背理法を用いて証明します。

$x$ も $y$ も3の倍数でないと仮定します。

このとき、$x^2$ も $y^2$ も3で割った余りは1です（(1)より）。

したがって、$x^2 + y^2$ を3で割った余りは $1+1 = 2$ となります。

一方、$z^2 = x^2 + y^2$ なので、$z^2$ を3で割った余りは2となります。

しかし、$z$ が3の倍数のとき、$z^2$ を3で割った余りは0であり、$z$ が3の倍数でないとき、$z^2$ を3で割った余りは1です。

つまり、$z^2$ を3で割った余りは2になることはありません。

これは矛盾であるため、$x$ と $y$ の少なくとも一方は3の倍数でなければなりません。

3. 最終的な答え

(1) 整数 $n$ が3の倍数でないならば、$n^2$ を3で割ったときの余りは1である。（証明終）

(2) 3つの整数 $x, y, z$ が等式 $x^2 + y^2 = z^2$ を満たすならば、$x$ と $y$ の少なくとも一方は3の倍数である。（証明終）