整数の中で、2でも3でも5でも割り切れないものだけを小さい順に並べた数列がある。この数列の150番目の数を、選択肢の中から選ぶ問題。選択肢は以下の通り。 1: 541 2: 547 3: 557 4: 559 5: 563

1. 問題の内容

整数の中で、2でも3でも5でも割り切れないものだけを小さい順に並べた数列がある。この数列の150番目の数を、選択肢の中から選ぶ問題。選択肢は以下の通り。

1: 541

2: 547

3: 557

4: 559

5: 563

2. 解き方の手順

まず、2, 3, 5のいずれかで割り切れる数の割合を考える。

1からnまでの整数について、

2で割り切れる数は $n/2$ 個、

3で割り切れる数は $n/3$ 個、

5で割り切れる数は $n/5$ 個。

ただし、これらを単純に足すと、2と3、2と5、3と5の公倍数が重複して数えられてしまうため、包除原理を用いる。

2と3で割り切れる数は $n/6$ 個、

2と5で割り切れる数は $n/10$ 個、

3と5で割り切れる数は $n/15$ 個、

2と3と5で割り切れる数は $n/30$ 個。

よって、2, 3, 5のいずれかで割り切れる数の個数は、

$n/2 + n/3 + n/5 - n/6 - n/10 - n/15 + n/30 = (15+10+6-5-3-2+1)n/30 = 22n/30 = 11n/15$ 個。

したがって、2, 3, 5のいずれでも割り切れない数の個数は、

$n - 11n/15 = 4n/15$ 個。

この数が150となるnを求める。

$4n/15 = 150$

$n = 150 * 15 / 4 = 562.5$

nは整数なので、n=562, 563付近で150番目の数が存在すると考えられる。

n = 562のとき、$4n/15 = 4*562/15 = 149.866... \approx 150$

n = 563のとき、$4n/15 = 4*563/15 = 150.133... \approx 150$

したがって、563より少し小さい数が150番目の数であると考えられる。選択肢の中で563に近い数は557, 559, 563なので、これらの数について2,3,5で割り切れるかどうかを確認していく。

541: 2, 3, 5で割り切れない。

547: 2, 3, 5で割り切れない。

557: 2, 3, 5で割り切れない。

559: 2で割り切れない、3で割り切れない、5で割り切れない。

563: 2で割り切れない、3で割り切れない、5で割り切れない。

大体のあたりを付けるために、540までに2,3,5で割り切れない数が何個あるかを計算する。

$4n/15 = 4*540/15 = 4*36 = 144$

つまり、540までは144個。150-144 = 6個。

541から数えて6番目の数となる。

541, 547, 551, 553, 557, 559, 563のうち、2,3,5で割れない数は541, 547, 551, 553, 557, 559。6番目は559である。563は7番目。

559が正しいかを確かめる。559までの2,3,5で割り切れない数を計算する。

$4*559/15 = 149.06$ 約149個

559自身も2,3,5で割り切れないので、559は150番目である。

3. 最終的な答え

4: 559