(1) $10^{10}$ を $2020$ で割った余りを求める。 (2) $100$桁の正の整数で、各位の数の和が $2$ となるもののうち、$2020$ で割り切れるものの個数を求める。

1. 問題の内容

(1) $10^{10}$ を $2020$ で割った余りを求める。

(2) $100$桁の正の整数で、各位の数の和が $2$ となるもののうち、$2020$ で割り切れるものの個数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$2020 = 20 \times 101$ であることに注意する。

$10^{10} = 10^2 \times 10^8 = 100 \times 10^8$ である。

$10^{10} = 100 \times 10^8 \equiv 100 \times 0 \pmod{20}$

$10^{10} \equiv 0 \pmod{20}$

よって、$10^{10}$ は $20$ で割り切れる。

次に、$10^{10}$ を $101$ で割った余りを考える。

$10^2 = 100 \equiv -1 \pmod{101}$

$10^{10} = (10^2)^5 \equiv (-1)^5 \pmod{101}$

$10^{10} \equiv -1 \pmod{101}$

$10^{10} \equiv 100 \pmod{101}$

$10^{10} = 2020k + r$ とおく。

$10^{10} \equiv r \pmod{20}$

$r \equiv 0 \pmod{20}$

$10^{10} \equiv r \pmod{101}$

$r \equiv 100 \pmod{101}$

$r = 20n$ とおくと、$20n \equiv 100 \pmod{101}$

$n \equiv 5 \pmod{101}$

$n = 101m + 5$

$r = 20(101m + 5) = 2020m + 100$

よって、$10^{10} = 2020m + 100$

したがって、$10^{10}$ を $2020$ で割った余りは $100$ である。

(2)

$100$桁の正の整数で各位の和が2となるものは、以下のいずれかである。

(i) $2 \times 10^{99}$

(ii) $10^k + 10^l$ （ただし、$0 \le l < k \le 99$, $k \ne l$）

これらのうち、$2020$ で割り切れるものを探す。

$2020 = 20 \times 101 = 4 \times 5 \times 101$ であるから、$4$の倍数、$5$の倍数、$101$の倍数であることが必要である。

(i) $2 \times 10^{99}$

$2 \times 10^{99} = 2 \times 10^2 \times 10^{97} = 200 \times 10^{97}$

$2 \times 10^{99} \equiv 0 \pmod{4}$

$2 \times 10^{99} \equiv 0 \pmod{5}$

$2 \times 10^{99} = 2 \times (10^2)^{49} \times 10 \equiv 2 \times (-1)^{49} \times 10 \pmod{101}$

$2 \times 10^{99} \equiv -20 \pmod{101}$

$2 \times 10^{99} \equiv 81 \pmod{101}$

したがって、$2 \times 10^{99}$ は $2020$ で割り切れない。

(ii) $10^k + 10^l$

$10^k + 10^l = 10^l (10^{k-l} + 1)$

$2020$で割り切れるためには、$10^k + 10^l$ は、$4$の倍数、$5$の倍数、$101$の倍数である必要がある。

$10^k + 10^l \equiv 0 \pmod{4}$より、$l \ge 2$が必要である。

$10^k + 10^l \equiv 0 \pmod{5}$より、$l \ge 1$が必要である。

$10^k + 10^l \equiv 0 \pmod{2020}$

$10^k + 10^l \equiv 0 \pmod{101}$より、$10^{k-l} \equiv -1 \pmod{101}$

$10^{k-l} \equiv 100 \pmod{101}$

$k-l = 50 + 100n$となることが必要。

$k-l = 50$

$10^k + 10^l$が$2020$で割り切れるとき、

$k \ge 2, l \ge 2$なので、$l \ge 2$

$k = l + 50$

$l + 50 \le 99$なので、$l \le 49$

よって、$2 \le l \le 49$

下2桁が$20$の倍数である必要があるので、$l = 2n$とおくと、$10^{l+50} + 10^{l} = 100(10^{l+48} + 10^{l-2})$は$2020$で割り切れるためには、$101$の倍数である必要十分である。

$10^{50} \equiv -1 \pmod {101}$を利用して、

$2 \le l \le 49$より、$49 - 2 + 1 = 48$個

3. 最終的な答え

(1) $100$

(2) $48$