$n$ を正の整数とするとき、$\sqrt{1536n}$ が整数となるような $n$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$n$ を正の整数とするとき、$\sqrt{1536n}$ が整数となるような $n$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{1536n}$ が整数になるためには、$1536n$ がある整数の二乗になる必要があります。

まず、$1536$ を素因数分解します。

$1536 = 2^{9} \times 3$

したがって、$1536n = 2^{9} \times 3 \times n$ となります。

$1536n$ がある整数の二乗になるためには、素因数分解したときの各素数の指数がすべて偶数である必要があります。

$2^{9} \times 3 \times n$ において、$2$ の指数は $9$ (奇数) であり、$3$ の指数は $1$ (奇数) です。

したがって、$n$ は $2$ と $3$ を少なくとも一つずつ含む必要があります。

$n = 2^{a} \times 3^{b}$ とおくと、$1536n = 2^{9+a} \times 3^{1+b}$ となります。

$9+a$ と $1+b$ が偶数になる最小の $a$ と $b$ を探すと、$a=1$、$b=1$ となります。

したがって、$n = 2 \times 3 = 6$ となります。

このとき、$1536n = 1536 \times 6 = 9216 = (96)^2$ となり、$\sqrt{1536n} = \sqrt{9216} = 96$ となり整数となるので、$n = 6$ は条件を満たします。

3. 最終的な答え

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