$n$ を正の整数とするとき、$\sqrt{1536n}$ が整数となるような $n$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$n$ を正の整数とするとき、$\sqrt{1536n}$ が整数となるような $n$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{1536n}$ が整数になるためには、$1536n$ がある整数の二乗になる必要があります。

まず、$1536$ を素因数分解します。

$1536 = 2^9 \times 3$

したがって、$1536n = 2^9 \times 3 \times n$ です。

$1536n$ がある整数の二乗になるためには、それぞれの素因数の指数が偶数である必要があります。

$2^9 \times 3 \times n$ において、$2$ の指数は $9$ で奇数、$3$ の指数は $1$ で奇数です。

したがって、$n$ は少なくとも $2$ と $3$ を因数に持つ必要があります。

$n = 2 \times 3 = 6$ とすると、

$1536n = 2^9 \times 3 \times (2 \times 3) = 2^{10} \times 3^2$

$\sqrt{1536n} = \sqrt{2^{10} \times 3^2} = 2^5 \times 3 = 32 \times 3 = 96$ となり、整数になります。

したがって、$n$ の最小値は $6$ です。

3. 最終的な答え

6