$\sqrt{3}$が有理数でないことを背理法で証明する。$\sqrt{3}$が有理数であると仮定し、$\sqrt{3} = \frac{q}{p}$($p, q$は互いに素な正の整数)と表される。この仮定から矛盾を導くことによって、$\sqrt{3}$が有理数でないことを示す。
2025/7/4
1. 問題の内容
が有理数でないことを背理法で証明する。が有理数であると仮定し、(は互いに素な正の整数)と表される。この仮定から矛盾を導くことによって、が有理数でないことを示す。
2. 解き方の手順
(1) の両辺を2乗すると、 。よって、。
これから、は3の倍数である。
(2) ( は0以上の整数、)とおく。
となる。
(3) は3の倍数であるため、も3の倍数でなければならない。
であるから、 は のいずれかである。
のとき
のとき
のとき
が3の倍数となるのは、 のときのみ。
(4) したがって、 でなければならない。このことから、 となる。
(5) を に代入すると、。よって、 となる。
(6) すると、上と同様にして、 は3の倍数であるから、 も3の倍数となる。
(7) と がともに3の倍数であることは、 と が互いに素であるという条件に矛盾する。
3. 最終的な答え
以下に空欄を埋めた結果を示します。
は3の倍数である。
とおく。
ただし、は0以上の整数、は3未満0以上の整数である。
このとき、
したがって、が3の倍数であるためには、なので、でなければならない。このことから、となり、 から となる。すると、上と同様にして、は3の倍数となる。これは の条件に矛盾するため、は有理数ではない。