整数 $n$ について、命題「$n^3 + 2n + 1$ が偶数ならば、$n$ は奇数である」を、対偶を利用して証明する。

1. 問題の内容

整数 $n$ について、命題「$n^3 + 2n + 1$ が偶数ならば、$n$ は奇数である」を、対偶を利用して証明する。

2. 解き方の手順

与えられた命題の対偶は「$n$ が偶数ならば、$n^3 + 2n + 1$ は奇数である」となる。

この対偶を証明する。

$n$ が偶数であるとき、$n = 2k$ ($k$ は整数) と表せる。

このとき、$n^3 + 2n + 1$ は次のようになる。

$n^3 + 2n + 1 = (2k)^3 + 2(2k) + 1$

$n^3 + 2n + 1 = 8k^3 + 4k + 1$

$n^3 + 2n + 1 = 2(4k^3 + 2k) + 1$

$4k^3 + 2k$ は整数なので、$2(4k^3 + 2k)$ は偶数である。

したがって、$2(4k^3 + 2k) + 1$ は奇数である。

よって、$n^3 + 2n + 1$ は奇数である。

対偶が真であることが示されたので、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

整数 $n$ について、命題「$n^3 + 2n + 1$ が偶数ならば、$n$ は奇数である」は真である。