$m^2 + n^2$ が奇数ならば、$m, n$ の少なくとも一方は奇数であることを証明する問題です。

1. 問題の内容

$m^2 + n^2$ が奇数ならば、$m, n$ の少なくとも一方は奇数であることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

この問題を解くために、背理法を使います。

つまり、$m, n$ の少なくとも一方が奇数であることの否定、すなわち、$m, n$ がともに偶数であると仮定して、矛盾を導きます。

$m, n$ がともに偶数であると仮定すると、ある整数 $k, l$ を用いて、$m = 2k, n = 2l$ と表すことができます。

このとき、$m^2 + n^2$ は、

$$m^2 + n^2 = (2k)^2 + (2l)^2 = 4k^2 + 4l^2 = 4(k^2 + l^2)$$

となります。

$k^2 + l^2$ は整数なので、$4(k^2 + l^2)$ は 4 の倍数であり、特に偶数です。

したがって、$m^2 + n^2$ は偶数となります。

これは、$m^2 + n^2$ が奇数であるという仮定に矛盾します。

よって、$m, n$ がともに偶数であるという仮定は誤りであり、$m, n$ の少なくとも一方は奇数であることが証明されました。

3. 最終的な答え

$m^2 + n^2$ が奇数ならば、$m, n$ の少なくとも一方は奇数である。