$a, b$ は整数とする。命題「$3a^2 - b^2$ が奇数ならば、積 $ab$ は偶数である」を証明せよ。

1. 問題の内容

$a, b$ は整数とする。命題「$3a^2 - b^2$ が奇数ならば、積 $ab$ は偶数である」を証明せよ。

2. 解き方の手順

この命題を直接証明するのは難しいので、対偶を証明する。元の命題の対偶は「$ab$ が奇数ならば、$3a^2 - b^2$ は偶数である」となる。

$ab$ が奇数であるとき、$a$ と $b$ はともに奇数である。なぜなら、$a$ または $b$ が偶数であれば、$ab$ も偶数になるからである。

したがって、$a = 2m+1$ および $b = 2n+1$ （$m, n$ は整数）と表せる。

このとき、

$3a^2 - b^2 = 3(2m+1)^2 - (2n+1)^2 = 3(4m^2 + 4m + 1) - (4n^2 + 4n + 1) = 12m^2 + 12m + 3 - 4n^2 - 4n - 1 = 12m^2 + 12m - 4n^2 - 4n + 2 = 2(6m^2 + 6m - 2n^2 - 2n + 1)$

これは偶数である。なぜなら、$6m^2 + 6m - 2n^2 - 2n + 1$ は整数だから、$3a^2 - b^2$ は $2$ の倍数、つまり偶数である。

よって、対偶「$ab$ が奇数ならば、$3a^2 - b^2$ は偶数である」が証明されたので、元の命題「$3a^2 - b^2$ が奇数ならば、積 $ab$ は偶数である」も真である。

3. 最終的な答え

$3a^2 - b^2$ が奇数ならば、$ab$ は偶数である。