$n$ を自然数とするとき、$N = \sqrt{594n}$ が1000以下の整数となるような $n$ の値を求めよ。 ただし、594の素因数分解の結果は2,3,11を使用すること。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とするとき、$N = \sqrt{594n}$ が1000以下の整数となるような $n$ の値を求めよ。 ただし、594の素因数分解の結果は2,3,11を使用すること。

2. 解き方の手順

まず、594を素因数分解します。問題文より、594は2, 3, 11を素因数に持つことが示唆されています。

$594 = 2 \times 297 = 2 \times 3 \times 99 = 2 \times 3 \times 3 \times 33 = 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 11$

つまり、$594 = 2 \times 3^3 \times 11$となります。

$N = \sqrt{594n} = \sqrt{2 \times 3^3 \times 11 \times n}$

$N$ が整数になるためには、根号の中身が平方数である必要があります。したがって、$n$ は少なくとも $2 \times 3 \times 11$ を因数に持つ必要があります。

$n = 2 \times 3 \times 11 \times k^2 = 66k^2$ (kは自然数)とおきます。

このとき、$N = \sqrt{2 \times 3^3 \times 11 \times 2 \times 3 \times 11 \times k^2} = \sqrt{2^2 \times 3^4 \times 11^2 \times k^2} = 2 \times 3^2 \times 11 \times k = 198k$

問題文より、$N \le 1000$なので、$198k \le 1000$となる必要があります。

$k \le \frac{1000}{198} \approx 5.05$

$k$ は自然数なので、$k = 1, 2, 3, 4, 5$ となります。

それぞれの $k$ に対して $n$ の値と $N$ の値を計算します。

* $k=1$ のとき: $n = 66(1)^2 = 66$, $N = 198(1) = 198$

* $k=2$ のとき: $n = 66(2)^2 = 66 \times 4 = 264$, $N = 198(2) = 396$

* $k=3$ のとき: $n = 66(3)^2 = 66 \times 9 = 594$, $N = 198(3) = 594$

* $k=4$ のとき: $n = 66(4)^2 = 66 \times 16 = 1056$, $N = 198(4) = 792$

* $k=5$ のとき: $n = 66(5)^2 = 66 \times 25 = 1650$, $N = 198(5) = 990$

$n$ は自然数なので、$n=66, 264, 594, 1056, 1650$です。

$N$ の値はすべて1000以下であるため条件を満たします。

3. 最終的な答え

$n=66, 264, 594, 1056, 1650$

$N=198, 396, 594, 792, 990$

問題文はNの値を求めよなので、Nの値を解答とする。

N = 198, 396, 594, 792, 990