$n$ を自然数とするとき、$N = \sqrt{594n}$ が1000以下の整数となるような $N$ の値を求める。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とするとき、$N = \sqrt{594n}$ が1000以下の整数となるような $N$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$594$ を素因数分解します。

$594 = 2 \cdot 3^3 \cdot 11$

したがって、$N = \sqrt{2 \cdot 3^3 \cdot 11 \cdot n}$ となります。

$N$ が整数となるためには、$2 \cdot 3^3 \cdot 11 \cdot n$ が平方数である必要があります。

そのため、$n$ は $2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot k^2$ の形である必要があります($k$ は自然数)。

よって、$n = 66k^2$ となります。

すると、$N = \sqrt{594 \cdot 66k^2} = \sqrt{2 \cdot 3^3 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot k^2} = \sqrt{2^2 \cdot 3^4 \cdot 11^2 \cdot k^2} = 2 \cdot 3^2 \cdot 11 \cdot k = 198k$

$N \le 1000$ である必要があるので、$198k \le 1000$ となります。

$k \le \frac{1000}{198} = 5.05...$

$k$ は自然数なので、$k = 1, 2, 3, 4, 5$ となります。

したがって、$N = 198, 396, 594, 792, 990$

3. 最終的な答え

N = 198, 396, 594, 792, 990