99以下の自然数Xがあり、Xを4で割ると2余り、6で割ると4余り、7で割ると5余る。Xの各位の数字の和を求める。

1. 問題の内容

99以下の自然数Xがあり、Xを4で割ると2余り、6で割ると4余り、7で割ると5余る。Xの各位の数字の和を求める。

2. 解き方の手順

まず、問題文の条件を数式で表現する。

* Xを4で割ると2余る: $X \equiv 2 \pmod{4}$

* Xを6で割ると4余る: $X \equiv 4 \pmod{6}$

* Xを7で割ると5余る: $X \equiv 5 \pmod{7}$

最初の条件から、Xは $4k + 2$ （kは整数）と表せる。

この式を2番目の条件に代入する。

$4k + 2 \equiv 4 \pmod{6}$

$4k \equiv 2 \pmod{6}$

$2k \equiv 1 \pmod{3}$

$2k = 3l + 1$ （lは整数）

$k = \frac{3l + 1}{2}$

lは奇数でなければならないので、$l = 2m + 1$ （mは整数）とおく。

$k = \frac{3(2m + 1) + 1}{2} = \frac{6m + 4}{2} = 3m + 2$

よって、$X = 4(3m + 2) + 2 = 12m + 8 + 2 = 12m + 10$

この式を3番目の条件に代入する。

$12m + 10 \equiv 5 \pmod{7}$

$12m \equiv -5 \equiv 2 \pmod{7}$

$5m \equiv 2 \pmod{7}$

$15m \equiv 6 \pmod{7}$

$m \equiv 6 \pmod{7}$

$m = 7n + 6$ （nは整数）

$X = 12(7n + 6) + 10 = 84n + 72 + 10 = 84n + 82$

Xは99以下の自然数なので、$n = 0$ または $n = 1$ を考える。

$n = 0$のとき、$X = 82$

$n = 1$のとき、$X = 84 + 82 = 166$。これは99を超えているので不適。

したがって、$X = 82$

Xの各位の数字の和は、$8 + 2 = 10$

3. 最終的な答え

10