正の整数 $n$ と $18$ の最大公約数が $6$ であり、最小公倍数が $72$ であるとき、整数 $n$ を求めよ。

1. 問題の内容

正の整数 $n$ と $18$ の最大公約数が $6$ であり、最小公倍数が $72$ であるとき、整数 $n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

整数 $n$ と $18$ の最大公約数を $G$ 、最小公倍数を $L$ とすると、$n \times 18 = G \times L$ が成り立つ。

問題文より、$G = 6$、$L = 72$ であるから、

$n \times 18 = 6 \times 72$

$n = \frac{6 \times 72}{18}$

$n = \frac{6 \times 4 \times 18}{18}$

$n = 6 \times 4$

$n = 24$

次に、求めた $n = 24$ が問題の条件を満たしているか確認する。

$24 = 2^3 \times 3$

$18 = 2 \times 3^2$

最大公約数は $2 \times 3 = 6$ となり、条件を満たす。

最小公倍数は $2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72$ となり、条件を満たす。

3. 最終的な答え

24