$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ とする。 (1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。 (2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求めよ。また、$a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めよ。 (3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求めよ。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ とする。

(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。

(2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求めよ。また、$a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めよ。

(3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化する。

分母の共役な複素数である $3\sqrt{2} + \sqrt{10}$ を分母と分子にかける。

$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{(3\sqrt{2} - \sqrt{10})(3\sqrt{2} + \sqrt{10})} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{10})^2} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{18 - 10} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求める。

$\frac{2}{a} = \frac{2}{\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2} + \sqrt{10}} = \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{(3\sqrt{2} + \sqrt{10})(3\sqrt{2} - \sqrt{10})} = \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{18 - 10} = \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}$

$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10} + 3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$

$a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求める。

$(a + \frac{2}{a})^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{2}{a} + \frac{4}{a^2} = a^2 + 4 + \frac{4}{a^2}$

$a^2 + \frac{4}{a^2} = (a + \frac{2}{a})^2 - 4 = (3\sqrt{2})^2 - 4 = 9 \cdot 2 - 4 = 18 - 4 = 14$

(3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求める。

まず、$a^4 + \frac{16}{a^4}$ を求める。

$(a^2 + \frac{4}{a^2})^2 = a^4 + 2 \cdot a^2 \cdot \frac{4}{a^2} + \frac{16}{a^4} = a^4 + 8 + \frac{16}{a^4}$

$a^4 + \frac{16}{a^4} = (a^2 + \frac{4}{a^2})^2 - 8 = 14^2 - 8 = 196 - 8 = 188$

よって

$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = (a^4 + \frac{16}{a^4}) - 2 \cdot \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = 188 - 2(\frac{8}{a^2}) - \frac{8}{a^2} -1 = 187 - \frac{24}{a^2}$.

$\frac{1}{a^2} = \frac{14 - a^2}{4}$ なので、 $a^2 = 14-\frac{4}{a^2}$.

$187-\frac{24}{a^2} = 187 - 24 \frac{1}{a^2}$.

$\frac{1}{a^2}=\frac{1}{(\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2})^2} = \frac{4}{(3\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 3\sqrt{2}\sqrt{10} + (\sqrt{10})^2} = \frac{4}{18+6\sqrt{20} + 10} = \frac{4}{28 + 12\sqrt{5}} = \frac{1}{7+3\sqrt{5}} = \frac{7-3\sqrt{5}}{(7+3\sqrt{5})(7-3\sqrt{5})} = \frac{7-3\sqrt{5}}{49 - 45} = \frac{7-3\sqrt{5}}{4}$

$187 - 24(\frac{7-3\sqrt{5}}{4}) = 187 - 6(7-3\sqrt{5}) = 187 - 42 + 18\sqrt{5} = 145 + 18\sqrt{5}$.

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a} = 3\sqrt{2}$, $a^2 + \frac{4}{a^2} = 14$

(3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = 145 + 18\sqrt{5}$