$2mn + m - 4n - 32 = 0$ を満たす自然数の組 $(m, n)$ の個数を求める問題です。選択肢は1, 2, 3, 4です。

1. 問題の内容

$2mn + m - 4n - 32 = 0$ を満たす自然数の組 $(m, n)$ の個数を求める問題です。選択肢は1, 2, 3, 4です。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を変形して、$m$と$n$の関係を見つけます。

$2mn + m - 4n - 32 = 0$

$m(2n + 1) - 4n - 32 = 0$

$m(2n + 1) - 2(2n + 1) - 30 = 0$

$(2n + 1)(m - 2) = 30$

ここで、$m$と$n$は自然数なので、$2n + 1$は3以上の奇数であり、$m - 2$は整数です。

$30$の約数のうち、3以上の奇数は、3, 5, 15 です。

それぞれの場合について、$n$と$m$の値を求めます。

1. $2n + 1 = 3$ のとき、$n = 1$。このとき、$m - 2 = 10$ なので、$m = 12$。$(m, n) = (12, 1)$

2. $2n + 1 = 5$ のとき、$n = 2$。このとき、$m - 2 = 6$ なので、$m = 8$。$(m, n) = (8, 2)$

3. $2n + 1 = 15$ のとき、$n = 7$。このとき、$m - 2 = 2$ なので、$m = 4$。$(m, n) = (4, 7)$

以上より、$(m, n)$ の組は (12, 1), (8, 2), (4, 7) の3組です。

3. 最終的な答え

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