2次関数 $y = x^2 + ax + b$ のグラフを、$x$軸方向に$-1$, $y$軸方向に$2$だけ平行移動したところ、頂点の座標が$(-2, 6)$になった。このとき、定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + ax + b$ のグラフを、$x$軸方向に$-1$, $y$軸方向に$2$だけ平行移動したところ、頂点の座標が$(-2, 6)$になった。このとき、定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 + ax + b = (x + \frac{a}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2 + b = (x + \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4} + b$

したがって、元のグラフの頂点の座標は $(-\frac{a}{2}, -\frac{a^2}{4} + b)$ である。

このグラフを$x$軸方向に$-1$, $y$軸方向に$2$だけ平行移動すると、頂点の座標は $(-\frac{a}{2}-1, -\frac{a^2}{4} + b + 2)$ となる。

問題文より、移動後の頂点の座標は $(-2, 6)$ なので、以下の方程式が成り立つ。

$-\frac{a}{2} - 1 = -2$

$-\frac{a^2}{4} + b + 2 = 6$

一つ目の式から、$-\frac{a}{2} = -1$ となり、$a = 2$ が得られる。

これを二つ目の式に代入すると、$-\frac{2^2}{4} + b + 2 = 6$ となり、$-1 + b + 2 = 6$ より、$b = 5$ が得られる。

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = 5$