与えられた連立一次方程式を解き、$x_1, x_2, x_3, x_4$ を求めます。 $ \begin{bmatrix} 2 & 1 & -5 & 3 \\ 1 & 1 & -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解き、$x_1, x_2, x_3, x_4$ を求めます。

$$

\begin{bmatrix}

2 & 1 & -5 & 3 \\

1 & 1 & -3 & 2

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_1 \\

x_2 \\

x_3 \\

x_4

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

0 \\

0

\end{bmatrix}

$$

2. 解き方の手順

与えられた行列を簡約化して、連立方程式を解きます。

行列を拡大行列として書き出します。

$$

\begin{bmatrix}

2 & 1 & -5 & 3 & | & 0 \\

1 & 1 & -3 & 2 & | & 0

\end{bmatrix}

$$

1行目と2行目を入れ替えます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 1 & -3 & 2 & | & 0 \\

2 & 1 & -5 & 3 & | & 0

\end{bmatrix}

$$

2行目を「2行目 - 2 * 1行目」で更新します。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 1 & -3 & 2 & | & 0 \\

0 & -1 & 1 & -1 & | & 0

\end{bmatrix}

$$

2行目を「-1 * 2行目」で更新します。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 1 & -3 & 2 & | & 0 \\

0 & 1 & -1 & 1 & | & 0

\end{bmatrix}

$$

1行目を「1行目 - 1 * 2行目」で更新します。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & -2 & 1 & | & 0 \\

0 & 1 & -1 & 1 & | & 0

\end{bmatrix}

$$

この行列は、以下の連立一次方程式に対応します。

$x_1 - 2x_3 + x_4 = 0$

$x_2 - x_3 + x_4 = 0$

これを解くと、

$x_1 = 2x_3 - x_4$

$x_2 = x_3 - x_4$

$x_3 = s$、 $x_4 = t$ (s, t は任意の実数) とすると、

$x_1 = 2s - t$

$x_2 = s - t$

$x_3 = s$

$x_4 = t$

したがって、解は以下のようになります。

$$

\begin{bmatrix}

x_1 \\

x_2 \\

x_3 \\

x_4

\end{bmatrix}

=

s

\begin{bmatrix}

2 \\

1 \\

1 \\

0

\end{bmatrix}

+

t

\begin{bmatrix}

-1 \\

-1 \\

0 \\

1

\end{bmatrix}

$$

3. 最終的な答え

$$

\begin{bmatrix}

x_1 \\

x_2 \\

x_3 \\

x_4

\end{bmatrix}

=

s

\begin{bmatrix}

2 \\

1 \\

1 \\

0

\end{bmatrix}

+

t

\begin{bmatrix}

-1 \\

-1 \\

0 \\

1

\end{bmatrix}

$$

ただし、$s$ と $t$ は任意の実数です。