与えられたベクトル $\mathbf{a}$ が、ベクトル $\mathbf{b_1}$ と $\mathbf{b_2}$ の一次結合で表せるための、$a, b$ の条件を求める問題です。問題は (1) と (2) の2つに分かれています。

1. 問題の内容

与えられたベクトル $\mathbf{a}$ が、ベクトル $\mathbf{b_1}$ と $\mathbf{b_2}$ の一次結合で表せるための、$a, b$ の条件を求める問題です。問題は (1) と (2) の2つに分かれています。

2. 解き方の手順

(1)

ベクトル $\mathbf{a}$ が $\mathbf{b_1}$ と $\mathbf{b_2}$ の一次結合で表せるということは、ある実数 $x, y$ が存在して、

$\mathbf{a} = x\mathbf{b_1} + y\mathbf{b_2}$ が成り立つということです。

与えられたベクトルを代入すると、

$\begin{bmatrix} a \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$

この式は以下の連立方程式と等価です。

$a = x + 2y$

$2 = 2x + 3y$

$3 = x + y$

3つ目の式から $x = 3 - y$ が得られます。これを2つ目の式に代入すると、

$2 = 2(3 - y) + 3y = 6 - 2y + 3y = 6 + y$

よって $y = -4$ となります。

すると、$x = 3 - (-4) = 7$ となります。

最後に、これらの $x, y$ の値を1つ目の式に代入すると、

$a = 7 + 2(-4) = 7 - 8 = -1$

したがって、$a = -1$ が条件となります。

(2)

同様に、ベクトル $\mathbf{a}$ が $\mathbf{b_1}$ と $\mathbf{b_2}$ の一次結合で表せるということは、ある実数 $x, y$ が存在して、

$\mathbf{a} = x\mathbf{b_1} + y\mathbf{b_2}$ が成り立つということです。

与えられたベクトルを代入すると、

$\begin{bmatrix} 0 \\ a \\ b \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$

この式は以下の連立方程式と等価です。

$0 = x + 2y$

$a = -x + y$

$b = x + 3y$

1つ目の式から $x = -2y$ が得られます。これを2つ目と3つ目の式に代入すると、

$a = -(-2y) + y = 2y + y = 3y$

$b = -2y + 3y = y$

よって、$y = b$ となります。これを $a$ の式に代入すると、$a = 3b$ となります。

したがって、$a = 3b$ が条件となります。

3. 最終的な答え

(1) $a = -1$

(2) $a = 3b$