## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

1. **(1)** $6x - 3 = 10x - 11$ の解を求める。

2. **(2)** $\frac{3x+2}{8} - 1 = \frac{3}{10}x$ の解を求める。

3. **(3)** $(2x-8) : (x-2) = 7:4$ の解を求める。

4. **(4)** 連立方程式 $\begin{cases} 3x + 8y = 9 \\ x = 7 - 4y \end{cases}$ の解を求める。

5. **(5)** 連立方程式 $\begin{cases} 0.3x + 0.8y = 2 \\ 2x + y = 9 \end{cases}$ の解を求める。

6. **(6)** 連立方程式 $4x + 5y = 12x + 19y = 8$ の解を求める。

7. **[2]** 連立方程式 $\begin{cases} ax + by = 8 \\ bx - 2ay = -9 \end{cases}$ の解が $x = -1, y = 3$ のとき, $a, b$ の値を求める。

8. **[3]** 姉が1450円、妹が1150円持っている。姉と妹が同じ値段の筆箱を買ったら、残りの金額の比が3:2になった。2人が買った筆箱の値段を求める。

9. **[4]** ある植物園の入園料は、大人400円、子ども250円であるが、団体割引きを利用すると、大人は25%引き、子どもは4割引きになる。大人と子どもを合わせて30人の団体が、団体割引きを利用して総額5400円の入園料を支払って入場した。この団体の大人と子どもの人数をそれぞれ求めよ。

1

0. **[5]** ある中学校の昨年の生徒数は500人であった。今年は、昨年に比べて男子生徒が5%減少し、女子生徒が10%増加したので、全体では11人増えた。今年の男子の生徒数、女子の生徒数をそれぞれ求めよ。

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2. 解き方の手順

**[1]**

1. **(1)** $6x - 3 = 10x - 11$ を解く。

$6x - 10x = -11 + 3$

$-4x = -8$

$x = 2$

2. **(2)** $\frac{3x+2}{8} - 1 = \frac{3}{10}x$ を解く。

両辺に40をかける。

$5(3x+2) - 40 = 12x$

$15x + 10 - 40 = 12x$

$15x - 12x = 30$

$3x = 30$

$x = 10$

3. **(3)** $(2x-8) : (x-2) = 7:4$ を解く。

$4(2x-8) = 7(x-2)$

$8x - 32 = 7x - 14$

$8x - 7x = 32 - 14$

$x = 18$

4. **(4)** $\begin{cases} 3x + 8y = 9 \\ x = 7 - 4y \end{cases}$ を解く。

$x$ の式を代入する。

$3(7-4y) + 8y = 9$

$21 - 12y + 8y = 9$

$-4y = 9 - 21$

$-4y = -12$

$y = 3$

$x = 7 - 4(3) = 7 - 12 = -5$

5. **(5)** $\begin{cases} 0.3x + 0.8y = 2 \\ 2x + y = 9 \end{cases}$ を解く。

下の式から $y = 9 - 2x$ を得る。これを上の式に代入する。

$0.3x + 0.8(9 - 2x) = 2$

$0.3x + 7.2 - 1.6x = 2$

$-1.3x = 2 - 7.2$

$-1.3x = -5.2$

$x = 4$

$y = 9 - 2(4) = 9 - 8 = 1$

6. **(6)** $4x + 5y = 12x + 19y = 8$ を解く。

$\begin{cases} 4x + 5y = 8 \\ 12x + 19y = 8 \end{cases}$

上の式を3倍して下の式から引く。

$12x + 19y - 3(4x + 5y) = 8 - 3(8)$

$12x + 19y - 12x - 15y = 8 - 24$

$4y = -16$

$y = -4$

$4x + 5(-4) = 8$

$4x - 20 = 8$

$4x = 28$

$x = 7$

**[2]** 連立方程式 $\begin{cases} ax + by = 8 \\ bx - 2ay = -9 \end{cases}$ に $x = -1, y = 3$ を代入する。

$\begin{cases} -a + 3b = 8 \\ -b - 6a = -9 \end{cases}$

$\begin{cases} -a + 3b = 8 \\ 6a + b = 9 \end{cases}$

上の式を6倍して下の式に足す。

$6(-a+3b) + (6a + b) = 6(8) + 9$

$-6a + 18b + 6a + b = 48 + 9$

$19b = 57$

$b = 3$

$-a + 3(3) = 8$

$-a + 9 = 8$

$-a = -1$

$a = 1$

**[3]** 姉の残りの金額を $3k$、妹の残りの金額を $2k$ とおく。筆箱の値段を $x$ とおく。

$\begin{cases} 1450 - x = 3k \\ 1150 - x = 2k \end{cases}$

上の式を2倍、下の式を3倍して引く。

$2(1450 - x) - 3(1150 - x) = 2(3k) - 3(2k)$

$2900 - 2x - 3450 + 3x = 0$

$x - 550 = 0$

$x = 550$

**[4]** 大人の人数を $x$、子どもの人数を $y$ とおく。

$\begin{cases} x + y = 30 \\ 400(1-0.25)x + 250(1-0.4)y = 5400 \end{cases}$

$\begin{cases} x + y = 30 \\ 300x + 150y = 5400 \end{cases}$

下の式を150で割る。

$\begin{cases} x + y = 30 \\ 2x + y = 36 \end{cases}$

下の式から上の式を引く。

$2x + y - (x + y) = 36 - 30$

$x = 6$

$y = 30 - 6 = 24$

**[5]** 昨年の男子生徒数を $x$、女子生徒数を $y$ とおく。

$\begin{cases} x + y = 500 \\ (1-0.05)x + (1+0.1)y = 500 + 11 \end{cases}$

$\begin{cases} x + y = 500 \\ 0.95x + 1.1y = 511 \end{cases}$

上の式を0.95倍して下の式から引く。

$1.1y - 0.95y = 511 - 0.95(500)$

$0.15y = 511 - 475$

$0.15y = 36$

$y = 240$

$x = 500 - 240 = 260$

今年の男子生徒数は $0.95x = 0.95(260) = 247$

今年の女子生徒数は $1.1y = 1.1(240) = 264$

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3. 最終的な答え

**[1]**

1. $x = 2$

2. $x = 10$

3. $x = 18$

4. $x = -5, y = 3$

5. $x = 4, y = 1$

6. $x = 7, y = -4$

**[2]** $a = 1, b = 3$

**[3]** 550円

**[4]** 大人6人、子ども24人

**[5]** 今年の男子生徒数247人、今年の女子生徒数264人