(1) 絶対値を含む不等式 $|x+3| < 2x+1$ を解きます。 (2) 絶対値を含む不等式 $|x-4| > 3x$ を解きます。

1. 問題の内容

(1) 絶対値を含む不等式 $|x+3| < 2x+1$ を解きます。

(2) 絶対値を含む不等式 $|x-4| > 3x$ を解きます。

2. 解き方の手順

(1) $|x+3| < 2x+1$

絶対値の中身の符号によって場合分けします。

(i) $x+3 \geq 0$、つまり $x \geq -3$ のとき、$|x+3| = x+3$ なので、不等式は $x+3 < 2x+1$ となります。

$x+3 < 2x+1$ を解くと、 $x > 2$。

$x \geq -3$ と $x > 2$ の共通範囲は $x > 2$。

(ii) $x+3 < 0$、つまり $x < -3$ のとき、$|x+3| = -(x+3)$ なので、不等式は $-(x+3) < 2x+1$ となります。

$-(x+3) < 2x+1$ を解くと、 $-x-3 < 2x+1$ より、 $3x > -4$、すなわち $x > -\frac{4}{3}$。

$x < -3$ と $x > -\frac{4}{3}$ の共通範囲は存在しません。

(i), (ii) より、解は $x > 2$。

(2) $|x-4| > 3x$

絶対値の中身の符号によって場合分けします。

(i) $x-4 \geq 0$、つまり $x \geq 4$ のとき、$|x-4| = x-4$ なので、不等式は $x-4 > 3x$ となります。

$x-4 > 3x$ を解くと、 $-2x > 4$、すなわち $x < -2$。

$x \geq 4$ と $x < -2$ の共通範囲は存在しません。

(ii) $x-4 < 0$、つまり $x < 4$ のとき、$|x-4| = -(x-4)$ なので、不等式は $-(x-4) > 3x$ となります。

$-(x-4) > 3x$ を解くと、 $-x+4 > 3x$ より、 $4x < 4$、すなわち $x < 1$。

$x < 4$ と $x < 1$ の共通範囲は $x < 1$。

(i), (ii) より、解は $x < 1$。

3. 最終的な答え

(1) $x > 2$

(2) $x < 1$