画像に示された問題は、以下の３つの種類です。 * 2x2行列の行列式の計算 * 2x2行列の逆行列の計算 * 2元連立方程式を行列を用いて解く * 3元連立方程式を行列を用いて解く（逆行列が与えられている） 今回は、6番の問題、つまり3元連立方程式を行列を用いて解く問題に焦点を当てます。 与えられた連立方程式は以下の通りです。 $ \begin{cases} y + 2z = 1 \\ x + 2y + 3z = 2 \\ -2x - y - z = 3 \end{cases} $ また、行列 $ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ -2 & -1 & -1 \end{pmatrix} $ の逆行列が $ \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -5 & 4 & 2 \\ 3 & -2 & -1 \end{pmatrix} $ で与えられています。この情報を用いて連立方程式を解きます。

1. 問題の内容

画像に示された問題は、以下の３つの種類です。

* 2x2行列の行列式の計算

* 2x2行列の逆行列の計算

* 2元連立方程式を行列を用いて解く

* 3元連立方程式を行列を用いて解く（逆行列が与えられている）

今回は、6番の問題、つまり3元連立方程式を行列を用いて解く問題に焦点を当てます。

与えられた連立方程式は以下の通りです。

$$

\begin{cases}

y + 2z = 1 \\

x + 2y + 3z = 2 \\

-2x - y - z = 3

\end{cases}

$$

また、行列

$$

\begin{pmatrix}

0 & 1 & 2 \\

1 & 2 & 3 \\

-2 & -1 & -1

\end{pmatrix}

$$

の逆行列が

$$

\begin{pmatrix}

1 & -1 & -1 \\

-5 & 4 & 2 \\

3 & -2 & -1

\end{pmatrix}

$$

で与えられています。この情報を用いて連立方程式を解きます。

2. 解き方の手順

まず、連立方程式を行列で表現します。

$$

\begin{pmatrix}

0 & 1 & 2 \\

1 & 2 & 3 \\

-2 & -1 & -1

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

x \\ y \\ z

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

1 \\ 2 \\ 3

\end{pmatrix}

$$

ここで、

$$

A = \begin{pmatrix}

0 & 1 & 2 \\

1 & 2 & 3 \\

-2 & -1 & -1

\end{pmatrix},

X = \begin{pmatrix}

x \\ y \\ z

\end{pmatrix},

B = \begin{pmatrix}

1 \\ 2 \\ 3

\end{pmatrix}

$$

とおくと、

$AX = B$

となります。

$A$ の逆行列 $A^{-1}$ が与えられているので、$X$ を求めるには、両辺に左から $A^{-1}$ をかけます。

$A^{-1}AX = A^{-1}B$

$IX = A^{-1}B$

$X = A^{-1}B$

したがって、

$$

\begin{pmatrix}

x \\ y \\ z

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

1 & -1 & -1 \\

-5 & 4 & 2 \\

3 & -2 & -1

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

1 \\ 2 \\ 3

\end{pmatrix}

$$

行列の積を計算します。

$$

\begin{pmatrix}

x \\ y \\ z

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

1(1) + (-1)(2) + (-1)(3) \\

(-5)(1) + 4(2) + 2(3) \\

3(1) + (-2)(2) + (-1)(3)

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

1 - 2 - 3 \\

-5 + 8 + 6 \\

3 - 4 - 3

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

-4 \\

9 \\

-4

\end{pmatrix}

$$

3. 最終的な答え

したがって、解は

$x = -4, y = 9, z = -4$

となります。

最終的な答え：

$x = -4$

$y = 9$

$z = -4$