問題3は、与えられた4つの2x2行列の行列式を計算する問題です。問題4は、与えられた3つの2x2行列の逆行列を計算する問題です。

1. 問題の内容

問題3は、与えられた4つの2x2行列の行列式を計算する問題です。問題4は、与えられた3つの2x2行列の逆行列を計算する問題です。

2. 解き方の手順

問題3（行列式の計算）

2x2行列 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の行列式は $ad - bc$ で計算できます。

3.

1. $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$ の行列式: $(1)(5) - (2)(2) = 5 - 4 = 1$

3.

2. $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$ の行列式: $(1)(2) - (0)(-3) = 2 - 0 = 2$

3.

3. $\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$ の行列式: $(3)(8) - (4)(6) = 24 - 24 = 0$

3.

4. $\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ の行列式: $(0)(3) - (4)(0) = 0 - 0 = 0$

問題4（逆行列の計算）

2x2行列 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の逆行列は、行列式を $D = ad - bc$ とすると、 $\frac{1}{D}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ で計算できます。行列式が0のとき、逆行列は存在しません。

4.

1. $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$ の行列式: $(3)(2) - (1)(5) = 6 - 5 = 1$. 逆行列は $\frac{1}{1}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$

4.

2. $\begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ の行列式: $(-1)(4) - (-3)(3) = -4 + 9 = 5$. 逆行列は $\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/5 & 3/5 \\ -3/5 & -1/5 \end{pmatrix}$

4.

3. $\begin{pmatrix} -7 & -5 \\ 6 & 5 \end{pmatrix}$ の行列式: $(-7)(5) - (-5)(6) = -35 + 30 = -5$. 逆行列は $\frac{1}{-5}\begin{pmatrix} 5 & 5 \\ -6 & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 6/5 & 7/5 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

問題3：

1. 行列式: 1

2. 行列式: 2

3. 行列式: 0

4. 行列式: 0

問題4：

1. 逆行列: $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$

2. 逆行列: $\begin{pmatrix} 4/5 & 3/5 \\ -3/5 & -1/5 \end{pmatrix}$

3. 逆行列: $\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 6/5 & 7/5 \end{pmatrix}$